Geometría

Demostraciones con Coordenadas

En geometría, puedes demostrar cosas con argumentos lógicos o con coordenadas y álgebra. Las demostraciones con coordenadas colocan figuras en una cuadrícula y usan fórmulas — pendiente, distancia, punto medio — para verificar propiedades como lados paralelos, longitudes iguales o ángulos rectos. ¿Lo mejor? Puedes ver cómo la demostración se actualiza al mover los puntos.

1. Demostrar que Rectas Son Paralelas (Pendientes Iguales)

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente. Coloquemos dos rectas en el plano coordenado y verifiquemos. Mueve los deslizadores para cambiar las pendientes y observa si las rectas se mantienen paralelas.

Pendiente de la recta 1 (m)1
-33
Ordenada de la recta 12
-55
Pendiente de la recta 2 (m)1
-33
Ordenada de la recta 2-1
-55
Recta 1: y=1x+2Recta 2: y=1x+−1\text{Recta 1: } y = 1x + 2 \quad \text{Recta 2: } y = 1x + -1
¿Pendientes iguales? 1=1\text{¿Pendientes iguales? } 1 = 1
-12-10-8-6-4-224681012-8-6-4-22468Recta 1Recta 2
Prueba Esto

Establece ambas pendientes con el mismo valor (por ejemplo, m = 1.5 para ambas). Las rectas nunca se cruzan — ¡son paralelas! Ahora cambia una pendiente ligeramente. Las rectas inmediatamente se cruzan en algún punto. Paralelas significa pendientes idénticas, punto. Esa es la demostración por coordenadas del paralelismo.

2. Demostrar que Rectas Son Perpendiculares (Pendientes con Producto -1)

Dos rectas son perpendiculares (se encuentran en ángulo de 90 grados) cuando el producto de sus pendientes es igual a -1. Otra forma de decirlo: sus pendientes son recíprocos negativos.

Pendiente de la recta 12
0.24
Ordenada 10
-55
Pendiente recta 1: 2Pendiente recta 2: −12\text{Pendiente recta 1: } 2 \quad \text{Pendiente recta 2: } \frac{-1}2
Producto: 2×−12=−1  ✓\text{Producto: } 2 \times \frac{-1}2 = -1 \; \checkmark
-12-10-8-6-4-224681012-8-6-4-22468Recta 1Recta 2 (perp)
Conexión

Sin importar qué pendiente elijas para la Recta 1, la Recta 2 siempre es perpendicular porque su pendiente está obligada a ser -1/m. El producto siempre es -1. Esta es la demostración por coordenadas de la perpendicularidad: calcula ambas pendientes, multiplícalas y verifica si obtienes -1.

3. Fórmula de Distancia: Demostrar Lados Iguales

Para demostrar que un triángulo es isósceles o equilátero, necesitas la fórmula de distancia: d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2). Coloquemos un triángulo y midamos sus lados.

Punto A: x0
-55
Punto A: y4
-55
Punto B: x-3
-55
Punto B: y-2
-55
A=(0,4),B=(−3,−2),C=(3,−2)A = (0, 4), \quad B = (-3, -2), \quad C = (3, -2)
d(A,B)=(−3−0)2+(−2−4)2d(A,B) = \sqrt{(-3-0)^2 + (-2-4)^2}
-10-8-6-4-2246810-6-4-22468Lado ABLado ACLado BC
Prueba Esto

Intenta hacer el triángulo isósceles ajustando los puntos A y B de modo que dos lados tengan la misma longitud. Por ejemplo, establece A = (0, 4) y B = (-3, -2). Ahora calcula d(A,C) y d(B,C) con C = (3, -2). Si son iguales, ¡has demostrado que es isósceles usando coordenadas!

4. Fórmula del Punto Medio: Demostrar Bisección

El punto medio de un segmento con extremos (x1, y1) y (x2, y2) es ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2). Para demostrar que un punto biseca un segmento, muestra que es el punto medio.

P1: x-4
-66
P1: y-2
-66
P2: x4
-66
P2: y3
-66
P1=(−4,−2),P2=(4,3)P_1 = (-4, -2), \quad P_2 = (4, 3)
Punto medio=(−4+42,−2+32)\text{Punto medio} = \left(\frac{-4+4}{2}, \frac{-2+3}{2}\right)
-12-10-8-6-4-224681012-8-6-4-22468Segmento P1-P2y = valor y del punto medio
Conexión

La línea horizontal amarilla muestra la coordenada y del punto medio. Siempre pasa por el centro exacto del segmento. Para demostrar bisección en una prueba con coordenadas: calcula el punto medio del segmento, luego muestra que la bisectriz pasa por ese punto.

5. Todo Junto: Demostrar un Paralelogramo

Un cuadrilátero es un paralelogramo si los lados opuestos son paralelos (pendientes iguales). Armemos un cuadrilátero y verifiquemos.

Desplazamiento horizontal3
16
Desplazamiento vertical2
-35
Veˊrtices: A(0,0),  B(5,0),  C(5+3,2),  D(3,2)\text{Vértices: } A(0,0),\; B(5,0),\; C(5+3,2),\; D(3,2)
Pendiente AB=0,Pendiente DC=2−2(5+3)−3=0  ✓\text{Pendiente AB} = 0, \quad \text{Pendiente DC} = \frac{2-2}{(5+3)-3} = 0 \;\checkmark
Pendiente AD=23,Pendiente BC=23  ✓\text{Pendiente AD} = \frac{2}3, \quad \text{Pendiente BC} = \frac{2}3 \;\checkmark
-4-22468101214-22468Lado AB (y=0)Lado DC (y=dy)Lado ADLado BC
Desafío

Desafío: AB siempre es horizontal (pendiente 0), y DC siempre es paralelo a él. Los deslizadores controlan dónde va D, y C lo sigue para mantener la forma de paralelogramo. Sin importar qué valores elijas, los lados opuestos siempre tienen pendientes iguales. Esa es la demostración por coordenadas: muestra que ambos pares de lados opuestos tienen pendientes iguales, por lo tanto el cuadrilátero es un paralelogramo.
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