Secciones Cónicas
Corta un cono con un plano en diferentes ángulos y obtendrás cuatro curvas distintas: círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Estas secciones cónicas fueron estudiadas por los antiguos griegos, y resulta que describen desde las órbitas planetarias hasta las antenas parabólicas y los arcos de los puentes.
El Círculo: Donde todo comienza
Un círculo es el conjunto de todos los puntos a una distancia fija (el radio) de un punto central. La ecuación de un círculo centrado en el origen con radio r es:
x^2 + y^2 = r^2
Podemos graficarlo dibujando las mitades superior e inferior como funciones separadas:
El círculo es perfectamente simétrico en todas las direcciones. Su excentricidad es 0 — es lo más “redonda” que puede ser una sección cónica.
Un círculo es en realidad un caso especial de una elipse donde ambos ejes son iguales. A medida que estiras un eje, el círculo se convierte en una elipse. La excentricidad mide cuánto se ha desviado la forma de un círculo perfecto.
La Elipse: Un círculo estirado
Una elipse centrada en el origen tiene la ecuación:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
donde a es el semieje mayor (la mitad del ancho) y b es el semieje menor (la mitad de la altura). Cuando a = b, la elipse es un círculo.
La curva morada es la elipse. Las líneas horizontales rojas marcan la altura del semieje menor en más y menos b.
Establece a = b (por ejemplo, ambos iguales a 3). La elipse se convierte en un círculo perfecto. Ahora aumenta lentamente a mientras mantienes b fijo. Observa cómo la elipse se estira horizontalmente. Cuanto más diferentes sean a y b, más alargada se vuelve la elipse.
Excentricidad: Midiendo el alargamiento
La excentricidad de una elipse (suponiendo que a >= b) es:
e = sqrt(1 - b^2/a^2)
La excentricidad va de 0 (un círculo perfecto) a valores que se acercan a 1 (una elipse extremadamente alargada).
Las órbitas planetarias son elipses con el Sol en uno de los focos. La órbita de la Tierra tiene una excentricidad de aproximadamente 0.017 — casi un círculo perfecto. La órbita de Plutón tiene una excentricidad de 0.25, lo que la hace notablemente alargada. Los cometas pueden tener excentricidades muy cercanas a 1, produciendo órbitas largas y estrechas.
La Hipérbola: Dos ramas
Una hipérbola parece dos curvas en espejo que se abren hacia afuera. La ecuación es:
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
El signo menos (en lugar de más) es lo que la convierte en una hipérbola en vez de una elipse.
Las líneas amarillas son las asíntotas — la hipérbola se acerca a estas líneas pero nunca las toca. Las asíntotas tienen pendientes b/a y -b/a, formando una X que guía la dirección de la curva.
- La hipérbola tiene dos ramas, una que se abre a la derecha y otra a la izquierda.
- Los vértices (puntos más cercanos de las dos ramas) están en (a, 0) y (-a, 0).
- La distancia entre las ramas es 2a.
Establece a = b. Las asíntotas se convierten en y = x e y = -x, formando un ángulo perfecto de 90 grados. Este caso especial se llama hipérbola rectangular. La función y = 1/x de la lección de funciones racionales es en realidad una hipérbola rectangular rotada 45 grados.
Parábolas Revisitadas
Una parábola también es una sección cónica — es el caso donde el plano de corte es paralelo al lado del cono. Ya conoces las parábolas de las funciones cuadráticas, pero en forma de sección cónica, escribimos:
y = (1/4p) x^2 donde p es la distancia del vértice al foco.
- Un valor mayor de p hace la parábola más ancha (el foco está más lejos del vértice).
- Un valor menor de p la hace más estrecha y empinada.
- La directriz (línea amarilla) se ubica en y = -p, debajo del vértice.
Las antenas parabólicas y los faros de los autos usan reflectores parabólicos. Cualquier señal que llega paralela al eje se refleja en la superficie parabólica y converge en el foco. Por eso el receptor se monta en el punto focal de la antena.
El Retrato Familiar
Las cuatro cónicas provienen de la misma fórmula. La ecuación general de segundo grado Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 produce:
| Cónica | Condición | Excentricidad |
|---|---|---|
| Círculo | A = C, B = 0 | e = 0 |
| Elipse | A y C del mismo signo, A distinto de C | 0 < e < 1 |
| Parábola | A = 0 o C = 0 (no ambos) | e = 1 |
| Hipérbola | A y C de signos opuestos | e > 1 |
Desafío: Clasifica cada ecuación como círculo, elipse, parábola o hipérbola:
- x^2 + y^2 = 25
- 4x^2 + 9y^2 = 36
- x^2 - y^2 = 16
- y = 3x^2 + 2
Luego reescribe cada una en forma estándar e identifica las características clave (centro, vértices, asíntotas, etc.).