Álgebra 1

Potencias y reglas de exponentes

Que pasa cuando multiplicas un numero por si mismo una y otra vez? Las cosas crecen — rapido. Los exponentes son una de las ideas mas poderosas en matematicas y aparecen en todas partes, desde el interes compuesto hasta la propagacion viral. Exploremos como funcionan.

Que es un exponente?

Un exponente te dice cuantas veces multiplicar un numero por si mismo:

x^3 = x \times x \times x

La base es x y el exponente es 3. Bastante simple. Pero cuando empiezas a cambiar ese exponente, el comportamiento de la funcion cambia drasticamente.

Parte 1: La funcion potencia y = x^n

Comencemos con y = x^n y veamos como diferentes exponentes cambian la forma de la grafica:

Exponente (n)2

y = x^2

Prueba Esto

Observa lo que pasa al cambiar n:

n = 1: Una linea recta — nada especial aun
n = 2: La clasica parabola (forma de U), siempre positiva
n = 3: Una curva en S que se vuelve negativa a la izquierda
n = 4: Como una parabola mas cerrada — positiva en todas partes otra vez
n = 5: Una curva en S aun mas pronunciada
n = 6: Forma de U super cerrada

Patron: Los exponentes pares hacen formas de U. Los impares hacen formas de S!

Parte 2: Comparacion de tasas de crecimiento

Exponentes mayores hacen que las funciones crezcan mas rapido. Pero cuanto mas rapido? Pongamos varias funciones potencia en la misma grafica:

Cerca de cero, todas se ven parecidas. Pero alejate un poco y las potencias mayores se disparan hacia arriba. En x = 3:

x = 3
x^2 = 9
x^3 = 27
x^4 = 81

Cada aumento en el exponente hace que la funcion crezca dramaticamente mas rapido.

Conexion

Conexion con el mundo real: Por eso el area (x^2) crece mas rapido que la longitud (x), y el volumen (x^3) crece mas rapido que el area. Duplica el lado de un cubo: la longitud se duplica, el area superficial se cuadruplica y el volumen aumenta 8 veces!

Parte 3: La funcion exponencial y = a^x

Ahora es donde las cosas se ponen realmente intensas. En vez de elevar x a una potencia, que pasa si elevamos un numero a la potencia x?

y = a^x

Esto es algo completamente diferente. El exponente ahora es la variable.

Base (a)2

0.24

y = 2^x

Prueba Esto

Prueba estos valores de a:

a = 2: Duplicacion clasica — la funcion se duplica cada vez que x aumenta en 1
a = 3: Se triplica en cada paso — aun mas rapido!
a = 1: Una linea plana en y = 1 (cualquier cosa elevada a x, si la base es 1, se mantiene en 1)
a = 0.5: La funcion disminuye conforme x aumenta — eso es decaimiento exponencial

Idea clave: Cuando a > 1, la funcion crece. Cuando 0 < a < 1, decae.

Parte 4: Exponencial vs. polinomio — La carrera definitiva

Aqui esta lo mas importante sobre las exponenciales: siempre le ganan a los polinomios eventualmente. Hagamos una carrera:

Grado del polinomio (n)2

Intenta poner el grado del polinomio en 5 — eso es x^5, un polinomio muy agresivo. Al principio, x^5 va ganando. Pero eventualmente, 2^x lo rebasa y lo deja atras.

Conexion

Por que importa esto? Por eso los informaticos se preocupan tanto por si un algoritmo es de “tiempo polinomial” o “tiempo exponencial”. Un algoritmo polinomial puede ser lento, pero uno exponencial se vuelve imposible para entradas grandes. La diferencia entre x^3 y 2^x es la diferencia entre “tarda un rato” y “tarda mas que la edad del universo”.

Parte 5: Reglas de exponentes de un vistazo

Estas son las reglas que hacen mucho mas facil trabajar con exponentes:

x^a \cdot x^b = x^{a+b}

Cuando multiplicas potencias con la misma base, suma los exponentes.

\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}

Cuando divides potencias con la misma base, resta los exponentes.

(x^a)^b = x^{ab}

Una potencia elevada a otra potencia significa multiplicar los exponentes.

x^0 = 1

Cualquier cosa (excepto 0) elevada a la potencia cero es igual a 1.

x^{-n} = \frac{1}{x^n}

Un exponente negativo significa tomar el reciproco.

Desafio

Practica rapida — simplifica sin calculadora:

2^3 por 2^4
x^5 / x^2
(3^2)^3
7^0
2^(-3)

Respuestas: 2^7 = 128, x^3, 3^6 = 729, 1, 1/8

Parte 6: Comparando diferentes bases

Pongamos varias funciones exponenciales con diferentes bases en la misma grafica:

Todas pasan por el punto (0, 1) — porque cualquier base elevada a la potencia 0 es igual a 1. Cuanto mayor la base, mas rapido el crecimiento (o decaimiento para bases entre 0 y 1).

Prueba Esto

Nota la simetria: La curva de crecimiento de 2^x es la imagen espejo de 0.5^x. Eso es porque 0.5 = 1/2, asi que 0.5^x = (1/2)^x = 2^(-x). Cambiar el signo de x refleja la grafica!

Resumen

Concepto	Que hace
x^n (polinomio)	Crece mas rapido con n mayor, pero tiene limites
a^x (exponencial)	Crece mas rapido que CUALQUIER polinomio eventualmente
Exponentes pares	Formas de U (siempre no negativas)
Exponentes impares	Formas de S (pueden ser negativas)
Base > 1	Crecimiento exponencial
0 < Base < 1	Decaimiento exponencial
x^0 = 1	Siempre verdadero (para x distinto de 0)

Desafio

Desafio final: Una colonia de bacterias se duplica cada hora. Si empiezas con 1 bacteria, escribe la ecuacion para la poblacion despues de x horas. Cuantas bacterias hay despues de 10 horas? Y despues de 24 horas?

Pista: La ecuacion es y = 2^x. Despues de 10 horas… eso es 2^10 = 1,024. Despues de 24 horas? Mas de 16 millones! Ese es el poder del crecimiento exponencial.

Los exponentes empiezan pequenos y terminan enormes. Eso es lo que los hace hermosos y un poco aterradores. Respeta el poder de las potencias!

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