Sucesiones y Patrones
Números que siguen un patrón. Eso es una sucesión — una lista de números que obedecen una regla. Una vez que descubres la regla, puedes predecir el término 10, el término 100 o incluso el término un millón sin tener que escribirlos todos.
Vamos a explorar los dos tipos más importantes de sucesiones en álgebra.
Parte 1: Sucesiones Aritméticas — Sumar la Misma Cantidad
Una sucesión aritmética es una lista de números donde sumas el mismo valor para pasar de un término al siguiente. Ese valor se llama la diferencia común, d.
Por ejemplo: 3, 7, 11, 15, 19, … tiene una diferencia común de d = 4.
La fórmula para el término n-ésimo es:
donde a_1 es el primer término y d es la diferencia común.
Observa lo siguiente al mover los deslizadores:
- Los puntos siempre forman una línea recta — ¡las sucesiones aritméticas son lineales!
- d > 0: La sucesión sube (creciente)
- d < 0: La sucesión baja (decreciente)
- d = 0: Todos los términos son iguales — una sucesión constante
- Cambiar a_1 desplaza toda la línea hacia arriba o hacia abajo
Parte 2: Sucesiones Geométricas — Multiplicar por la Misma Cantidad
Una sucesión geométrica es una lista de números donde multiplicas por el mismo valor para pasar de un término al siguiente. Ese valor se llama la razón común, r.
Por ejemplo: 2, 6, 18, 54, 162, … tiene una razón común de r = 3.
La fórmula para el término n-ésimo es:
Juega con la razón y observa:
- r > 1: La sucesión crece cada vez más rápido — ¡crecimiento exponencial!
- r = 1: Todos los términos son iguales (multiplicar por 1 no cambia nada)
- 0.5 < r < 1: La sucesión decrece hacia cero — decaimiento exponencial
- Cuanto mayor sea la razón, más dramática será la curva
Parte 3: Comparación — Aritmética vs. Geométrica
Aquí se pone interesante. Pongamos ambas sucesiones en la misma gráfica para comparar directamente cómo crecen.
La diferencia clave:
- La sucesión aritmética forma una línea recta — crece a un ritmo constante
- La sucesión geométrica forma una curva — crece a un ritmo acelerado
- Ambas parten del mismo punto, pero la sucesión geométrica eventualmente se dispara de forma dramática
Esta es exactamente la misma idea que el crecimiento lineal vs. exponencial, solo que vista desde la perspectiva de las sucesiones en lugar de las funciones.
Parte 4: Sucesiones Geométricas Decrecientes
Cuando la razón común está entre 0 y 1, sucede algo diferente — la sucesión geométrica decrece en lugar de crecer. Esto se llama decaimiento exponencial.
Ejemplos de decaimiento en el mundo real:
- Una pelota que rebota y alcanza el 80% de su altura anterior en cada rebote (r = 0.8)
- Un medicamento que sale de tu cuerpo — la vida media significa r = 0.5 en cada periodo
- Un auto que pierde el 15% de su valor cada año (r = 0.85)
¿Notas cómo la sucesión se acerca cada vez más a cero pero nunca llega a alcanzarlo? Esa es la marca distintiva del decaimiento exponencial.
Parte 5: Encontrar el Patrón
Dada una sucesión, ¿cómo determinas si es aritmética o geométrica?
Prueba aritmética: Resta términos consecutivos. Si la diferencia siempre es la misma, es aritmética.
5, 8, 11, 14, 17 … diferencias: 3, 3, 3, 3 — ¡Aritmética! (d = 3)
Prueba geométrica: Divide términos consecutivos. Si la razón siempre es la misma, es geométrica.
3, 6, 12, 24, 48 … razones: 2, 2, 2, 2 — ¡Geométrica! (r = 2)
Clasifica cada sucesión como aritmética o geométrica, y luego encuentra el término 10:
- 4, 10, 16, 22, 28, …
- 5, 15, 45, 135, …
- 100, 90, 80, 70, …
- 1000, 500, 250, 125, …
Pistas:
- Para la #1: ¿Cuál es la diferencia común? Usa a_n = a_1 + (n-1)d con n = 10
- Para la #2: ¿Cuál es la razón común? Usa a_n = a_1 * r^(n-1) con n = 10
- Para la #3: Al restar se obtiene el mismo resultado cada vez
- Para la #4: Al dividir se obtiene el mismo resultado cada vez
Parte 6: Las Fórmulas de un Vistazo
Comparemos las dos fórmulas con todos los parámetros ajustables.
La línea horizontal punteada muestra el valor inicial compartido. Ambas sucesiones comienzan en el mismo punto, pero sus trayectorias divergen según si suman o multiplican en cada paso.
Resumen
| Propiedad | Sucesión Aritmética | Sucesión Geométrica |
|---|---|---|
| Regla | Sumar el mismo valor (d) | Multiplicar por el mismo valor (r) |
| Fórmula | a_n = a_1 + (n-1)d | a_n = a_1 * r^(n-1) |
| Forma de la gráfica | Línea recta | Curva exponencial |
| Crecimiento | Constante (lineal) | Acelerado (exponencial) |
| Ejemplo | 2, 5, 8, 11, 14, … | 2, 6, 18, 54, 162, … |
Desafío Final:
- Escribe los primeros 6 términos de una sucesión aritmética con a_1 = 7 y d = -3. ¿Cuál es la fórmula del término n-ésimo?
- Escribe los primeros 6 términos de una sucesión geométrica con a_1 = 4 y r = 2. ¿Cuál es el 8.° término?
- Una sucesión comienza 100, 80, 64, 51.2, … ¿Es aritmética o geométrica? ¿Cuál es la razón o diferencia común? Predice los dos términos siguientes.
- Ahorras $20 la primera semana, y luego $5 más cada semana (aritmética). Tu amigo ahorra $5 la primera semana pero duplica sus ahorros cada semana (geométrica). Después de 8 semanas, ¿quién ha ahorrado más en esa sola semana? ¡Usa los deslizadores de arriba para comprobarlo!
Las sucesiones están en todas partes — patrones musicales, planes de ahorro, modelos de población, incluso la forma en que se propaga un virus. Una vez que aprendes a identificar el patrón, puedes predecir lo que viene después.