Geometría

Teoremas del Círculo

Los círculos tienen un hermoso conjunto de relaciones entre ángulos y longitudes. En esta lección, exploraremos ángulos centrales, ángulos inscritos, longitud de arco y área de sector — todo de forma interactiva.

Ángulo Central vs. Ángulo Inscrito

Un ángulo central tiene su vértice en el centro del círculo. Un ángulo inscrito tiene su vértice sobre el círculo mismo. El dato sorprendente:

Un ángulo inscrito siempre es la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco.

Ángulo central (grados)80
10180
Aˊngulo central=80°⇒Aˊngulo inscrito=80°2\text{Ángulo central} = 80° \quad \Rightarrow \quad \text{Ángulo inscrito} = \frac{80°}{2}

La gráfica a continuación muestra ambos ángulos sobre el círculo unitario. Los rayos púrpura forman el ángulo central desde el centro (0, 0) hacia dos puntos del círculo. Los rayos rojos forman el ángulo inscrito desde un punto del círculo (-1, 0) hacia los mismos dos extremos del arco. Observa que el ángulo inscrito siempre es la mitad del ángulo central.

-3-2.5-2-1.5-1-0.50.511.522.53-2-1.5-1-0.50.511.52círculorayo central (superior)rayo central (inferior)rayo inscrito (superior)rayo inscrito (inferior)
Prueba Esto

Intenta esto: Pon el ángulo central en 180 grados. El ángulo inscrito se convierte en 90 grados — ese es el teorema de Thales: cualquier ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

Longitud de Arco

Un arco es una porción de la circunferencia del círculo. La longitud de arco depende del radio y del ángulo central:

s=r⋅θ(theta en radianes)s = r \cdot \theta \quad \text{(theta en radianes)}
Radio (r)3
15
Ángulo central (grados)90
10360
r=3,θ=90°=90⋅π180 radr = 3, \quad \theta = 90° = 90 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ rad}
s=3⋅90⋅π180s = 3 \cdot 90 \cdot \frac{\pi}{180}

La gráfica a continuación muestra el círculo. La curva roja es el arco desde 0° hasta el ángulo elegido. La línea vertical cian marca dónde termina el arco en el círculo. Al aumentar el ángulo, el arco recorre el círculo en sentido antihorario.

-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789-5-4-3-2-112345circleangle markerarc
Prueba Esto

Intenta esto: Pon el ángulo en 180° — el arco es exactamente un semicírculo y s = pi * r. Ponlo en 360° — el arco recorre todo el círculo y s = 2 * pi * r. Para r = 3, la circunferencia completa es aproximadamente 18.85.

Área de un Sector

Un sector es la región en forma de “rebanada de pastel” entre dos radios y un arco. Su área es:

A=12r2θ(theta en radianes)A = \frac{1}{2} r^2 \theta \quad \text{(theta en radianes)}

O equivalentemente:

A=θ360°⋅πr2A = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi r^2
Radio (r)3
15
Ángulo central (grados)90
10360
A=90360⋅π⋅32A = \frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 3^2

La gráfica muestra el arco del sector en amarillo sobre el círculo. La línea vertical verde marca dónde termina el sector. La “rebanada de pastel” es la región entre el arco, el radio sobre el eje x y el radio inclinado.

-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789-5-4-3-2-112345circleangle markersector arc
Conexión

Conexión: Cuando theta = 360 grados, el área del sector es igual al área completa del círculo: pi * r^2. La fórmula del área del sector es simplemente una fracción del área total del círculo.

Rectas Tangentes

Una recta tangente toca al círculo en exactamente un punto y es perpendicular al radio en ese punto.

Punto de tangencia (grados)45
10170

La gráfica muestra el círculo unitario con una recta tangente en el punto elegido. Observa cómo la tangente siempre es perpendicular al radio.

-5-4-3-2-112345-3-2-1123Semicírculo superiorSemicírculo inferiorRadio al punto de tangenciaRecta tangente
Prueba Esto

Intenta esto: Pon el punto de tangencia en 90 grados. El radio apunta directamente hacia arriba, y la recta tangente es horizontal — ¡claramente perpendiculares! Prueba diferentes ángulos para ver cómo rota la tangente.
Desafío

Desafío: Un círculo tiene radio de 10 cm. Un ángulo central de 72 grados corta un arco. Encuentra (a) la longitud del arco y (b) el área del sector. Expresa tus respuestas en términos de pi.
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