ज्यामिति

वृत्त की प्रमेय (Circle Theorems)

वृत्तों में कोणों और लंबाइयों के सुंदर संबंध होते हैं। इस पाठ में हम केंद्रीय कोण, अंतर्लिखित कोण, चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल — सब इंटरैक्टिव तरीके से समझेंगे।

केंद्रीय कोण बनाम अंतर्लिखित कोण

केंद्रीय कोण (central angle) का शीर्ष वृत्त के केंद्र पर होता है। अंतर्लिखित कोण (inscribed angle) का शीर्ष वृत्त पर ही होता है। आश्चर्यजनक तथ्य:

अंतर्लिखित कोण हमेशा उसी चाप को काटने वाले केंद्रीय कोण का आधा होता है।

केंद्रीय कोण (डिग्री)80
10180
Central angle=80°⇒Inscribed angle=80°2\text{Central angle} = 80° \quad \Rightarrow \quad \text{Inscribed angle} = \frac{80°}{2}

नीचे का ग्राफ़ दोनों कोण इकाई वृत्त पर दिखाता है। बैंगनी किरणें केंद्र (0, 0) से वृत्त के दो बिंदुओं तक केंद्रीय कोण बनाती हैं। लाल किरणें वृत्त के एक बिंदु (-1, 0) से उन्हीं दो चाप सिरों तक अंतर्लिखित कोण बनाती हैं। ध्यान दें कि अंतर्लिखित कोण हमेशा केंद्रीय कोण का आधा होता है।

-3-2.5-2-1.5-1-0.50.511.522.53-2-1.5-1-0.50.511.52वृत्तकेंद्रीय किरण (ऊपरी)केंद्रीय किरण (निचली)अंतर्लिखित किरण (ऊपरी)अंतर्लिखित किरण (निचली)
यह आज़माएं

यह करें: केंद्रीय कोण को 180 डिग्री पर रखें। अंतर्लिखित कोण 90 डिग्री हो जाता है — यह थेल्स की प्रमेय (Thales’ theorem) है: अर्धवृत्त में अंतर्लिखित कोई भी कोण समकोण होता है!

चाप की लंबाई (Arc Length)

चाप वृत्त की परिधि का एक हिस्सा है। चाप की लंबाई त्रिज्या और केंद्रीय कोण पर निर्भर करती है:

s=r⋅θ(theta in radians)s = r \cdot \theta \quad \text{(theta in radians)}
त्रिज्या (r)3
15
केंद्रीय कोण (डिग्री)90
10360
r=3,θ=90°=90⋅π180 radr = 3, \quad \theta = 90° = 90 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ rad}
s=3⋅90⋅π180s = 3 \cdot 90 \cdot \frac{\pi}{180}

नीचे का ग्राफ़ वृत्त दिखाता है। लाल वक्र 0° से चुने हुए कोण तक का चाप है। सियान रेखा वृत्त पर चाप के अंतिम बिंदु को चिह्नित करती है। कोण बढ़ाने पर चाप वामावर्त (counterclockwise) फैलता है।

-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789-5-4-3-2-112345circleangle markerarc
यह आज़माएं

यह करें: कोण को 180° पर रखें — चाप ठीक एक अर्धवृत्त है और s = pi * r। 360° पर रखें — चाप पूरे वृत्त को घेर लेता है और s = 2 * pi * r। r = 3 के लिए, पूरी परिधि लगभग 18.85 है।

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (Sector Area)

त्रिज्यखंड (sector) दो त्रिज्याओं और एक चाप के बीच का “पाई का टुकड़ा” क्षेत्र है। इसका क्षेत्रफल:

A=12r2θ(theta in radians)A = \frac{1}{2} r^2 \theta \quad \text{(theta in radians)}

या इसके बराबर:

A=θ360°⋅πr2A = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi r^2
त्रिज्या (r)3
15
केंद्रीय कोण (डिग्री)90
10360
A=90360⋅π⋅32A = \frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 3^2

ग्राफ़ वृत्त पर पीले रंग में त्रिज्यखंड का चाप दिखाता है। हरी रेखा त्रिज्यखंड के अंतिम बिंदु को चिह्नित करती है। “पाई का टुकड़ा” चाप, x-अक्ष त्रिज्या और झुकी हुई त्रिज्या के बीच का क्षेत्र है।

-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789-5-4-3-2-112345circleangle markersector arc
जोड़

संबंध: जब theta = 360 डिग्री हो, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल pi * r^2 के बराबर हो जाता है। त्रिज्यखंड का सूत्र बस वृत्त के कुल क्षेत्रफल का एक अंश है।

स्पर्श रेखा (Tangent Lines)

स्पर्श रेखा (tangent line) वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूती है और उस बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।

स्पर्श बिंदु (डिग्री)45
10170

ग्राफ़ इकाई वृत्त को चुने हुए बिंदु पर स्पर्श रेखा के साथ दिखाता है। ध्यान दें कि स्पर्श रेखा हमेशा त्रिज्या के लंबवत होती है।

-5-4-3-2-112345-3-2-1123ऊपरी अर्धवृत्तनिचला अर्धवृत्तस्पर्श बिंदु तक त्रिज्यास्पर्श रेखा
यह आज़माएं

यह करें: स्पर्श बिंदु को 90 डिग्री पर रखें। त्रिज्या सीधी ऊपर जाती है, और स्पर्श रेखा क्षैतिज है — स्पष्ट रूप से लंबवत! अलग-अलग कोणों पर रखकर देखें कि स्पर्श रेखा कैसे घूमती है।
चुनौती

चुनौती: एक वृत्त की त्रिज्या 10 cm है। 72 डिग्री का केंद्रीय कोण एक चाप काटता है। ढूंढें (a) चाप की लंबाई और (b) त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल। अपने उत्तर pi के रूप में व्यक्त करें।
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