पूर्व-कलन (Precalculus)

प्रतिलोम फलन (Inverse Functions)

एक प्रतिलोम फलन मूल फलन के काम को उलट देता है। अगर f, 3 को 9 में बदलता है, तो f-प्रतिलोम 9 को वापस 3 में बदलता है। यह गणित के लिए “अनडू” बटन जैसा है। लेकिन हर फलन का प्रतिलोम नहीं होता — और क्यों नहीं होता, यह समझना उतना ही ज़रूरी है जितना कैसे होता है।

1. ग्राफ पर “प्रतिलोम” का मतलब क्या है?

अगर f के ग्राफ पर बिंदु (a, b) है, तो f-प्रतिलोम के ग्राफ पर बिंदु (b, a) होता है। x और y निर्देशांक बदलने का मतलब है कि प्रतिलोम, रेखा y = x पर प्रतिबिंब (reflection) है।

-5-4-3-2-11234567891011-2-112345678f(x) = x² (x >= 0)f⁻¹(x) = sqrt(x)y = x

बैंगनी वक्र (x का वर्ग, x >= 0 तक सीमित) और लाल वक्र (वर्गमूल) भूरी रेखा y = x के दोनों ओर दर्पण प्रतिबिंब हैं। यह प्रतिबिंब संबंध प्रतिलोम फलनों की दृश्य पहचान है।

2. स्लाइडर से प्रतिलोम की खोज

आइए रैखिक फलन f(x) = mx + b और उसके प्रतिलोम को देखें। एक रैखिक फलन का प्रतिलोम हमेशा होता है (जब तक m शून्य नहीं है)। ढाल और अवरोधन बदलें और देखें कैसे फलन और उसका प्रतिलोम एक साथ बदलते हैं।

ढाल (m)2
0.23
अवरोधन (b)1
-55
f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1
f−1(x)=x−12f^{-1}(x) = \frac{x - 1}2
-12-10-8-6-4-224681012-8-6-4-22468f(x) = mx + bf⁻¹(x)y = x
यह आज़माएं

देखें कैसे फलन और उसका प्रतिलोम हमेशा y = x के बारे में सममित होते हैं। m = 1 रखकर देखें — फलन और प्रतिलोम y = x के दोनों ओर समानांतर रेखाएं बन जाते हैं। m = -1 रखने पर क्या होता है? फलन अपना ही प्रतिलोम बन जाता है! (यह अपने आप पर प्रतिबिंबित होता है।)

3. क्षैतिज रेखा परीक्षण (Horizontal Line Test)

हर फलन का प्रतिलोम नहीं होता। प्रतिलोमनीय (invertible) होने के लिए, फलन को एक-एक (one-to-one) होना चाहिए: हर आउटपुट ठीक एक इनपुट से आता है। दृश्य परीक्षण? अगर कोई क्षैतिज रेखा ग्राफ को एक से ज़्यादा बार काटती है, तो फलन असफल है।

क्षैतिज रेखा y = ?4
-510
-10-8-6-4-2246810-224681012y = x² (एक-एक नहीं)y = h (परीक्षण रेखा)
जोड़

क्षैतिज रेखा को ऊपर-नीचे खिसकाएं। किसी भी धनात्मक y-मान के लिए, रेखा परवलय को दो जगहों पर काटती है (जैसे x = 2 और x = -2 दोनों y = 4 देते हैं)। इसीलिए x-वर्ग का सभी वास्तविक संख्याओं पर प्रतिलोम नहीं होता। इसे ठीक करने के लिए, हम प्रांत (domain) को सीमित करते हैं x >= 0 (या x <= 0) तक, केवल वह आधा रखते हैं जहाँ यह एक-एक है।

4. घात फलन और उसका प्रतिलोम

आइए f(x) = x^n और उसके प्रतिलोम (nवाँ मूल) को देखें। घातांक बदलें और देखें फलन और प्रतिलोम कैसे संबंधित हैं। हम x >= 0 तक सीमित रहेंगे ताकि प्रतिलोम बना रहे।

घातांक (n)2
15
f(x)=x2,f−1(x)=x1/2f(x) = x^2, \quad f^{-1}(x) = x^{1/2}
-3-2-112345678-1123456f(x) = x^nf⁻¹(x) = x^(1/n)y = x
यह आज़माएं

जब n = 1, फलन बस f(x) = x है, जो अपना ही प्रतिलोम है। जैसे n बढ़ता है, फलन का वक्र y = x से तेज़ी से दूर मुड़ता है, और प्रतिलोम भी (विपरीत दिशा में)। n = 2 पर आपको वर्ग/वर्गमूल की जोड़ी मिलती है। n = 3 पर घन/घनमूल की जोड़ी।

5. सत्यापन: f(f-प्रतिलोम(x)) = x

प्रतिलोम फलनों की परिभाषा देने वाला गुण: अगर आप किसी फलन को उसके प्रतिलोम के साथ संयोजित (compose) करें, तो आपको तत्समक फलन (identity function) मिलता है (मूल बिंदु से गुज़रने वाली ढाल 1 की सीधी रेखा)। आइए इसे दृश्य रूप से सत्यापित करें।

खिंचाव (a)2
0.54
f(x)=2⋅x2,f−1(x)=x/2f(x) = 2 \cdot x^2, \quad f^{-1}(x) = \sqrt{x / 2}
f(f−1(x))=2⋅(x/2)2=xf(f^{-1}(x)) = 2 \cdot \left(\sqrt{x/2}\right)^2 = x
-4-3-2-11234567891011-112345678f(x) = a*x²f⁻¹(x) = sqrt(x/a)f(f⁻¹(x)) = xy = x (तत्समक)
चुनौती

चुनौती: a का कोई भी मान चुनें, हरा वक्र (संयोजन) हमेशा ठीक भूरी तत्समक रेखा y = x पर गिरता है। स्लाइडर बदलकर खुद को विश्वास दिलाएं। यह प्रतिलोम की बीजगणितीय परिभाषा है: f(f-प्रतिलोम(x)) = x और f-प्रतिलोम(f(x)) = x। दोनों दिशाएं सही होनी चाहिए।
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