कलन (Calculus)

परिक्रमण के घनफल (Volumes of Revolution)

आप जानते हैं कि वक्र के नीचे का क्षेत्रफल कैसे निकालें। अब कल्पना कीजिए कि उस वक्र को x-अक्ष के चारों ओर घुमाया जाए, जैसे कुम्हार चाक पर मिट्टी को आकार देता है। परिणाम एक त्रिविमीय (3D) ठोस होता है, और कलन (calculus) आपको इसका सटीक घनफल बता सकता है।

1. क्षेत्रफल से घनफल: डिस्क विधि (Disk Method)

जब आप वक्र y = f(x) को x-अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो प्रत्येक पतली ऊर्ध्वाधर पट्टी एक डिस्क बनाती है — एक चपटा बेलन। स्थिति x पर डिस्क की त्रिज्या f(x) होती है, और उसकी मोटाई dx होती है।

Volume of one disk=π[f(x)]2 dx\text{Volume of one disk} = \pi [f(x)]^2 \, dx
Total volume=∫abπ[f(x)]2 dx\text{Total volume} = \int_a^b \pi [f(x)]^2 \, dx

इसे ऐसे सोचिए जैसे अलग-अलग आकार के अनंत सिक्कों को ढेर लगाना हो।

2. y = sqrt(x) को घुमाना

आइए वक्र y = sqrt(x) को x = 0 से x = b तक घुमाएँ। प्रत्येक डिस्क की त्रिज्या sqrt(x) है, इसलिए उसका क्षेत्रफल pi * x है।

b (दायीं सीमा)4
0.56
V=∫04π(x)2 dx=∫04πx dx=π⋅422V = \int_0^{{4}} \pi (\sqrt{x})^2 \, dx = \int_0^{{4}} \pi x \, dx = \frac{\pi \cdot 4^2}{2}
246-4-22468101214161820y = sqrt(x) (ऊपरी आधा)y = -sqrt(x) (निचला आधा)πx (x पर डिस्क क्षेत्रफल)x = b
यह आज़माएं

यह आज़माएं: नीले वक्र उस आकृति के ऊपरी और निचले आधे हिस्से दिखाते हैं जो ठोस को x-अक्ष के साथ काटने पर दिखाई देती। लाल वक्र दिखाता है कि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल (प्रत्येक डिस्क का) दाईं ओर जाने पर कैसे बढ़ता है। कुल घनफल 0 से b तक लाल वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है।

3. अनुप्रस्थ काट की त्रिज्या = f(x)

डिस्क विधि की कुंजी यह पहचानना है कि प्रत्येक अनुप्रस्थ काट (cross-section) की त्रिज्या फलन के मान के बराबर होती है। आइए एक अलग फलन के साथ इसे देखें।

k (वक्र आकार नियंत्रित करता है)1
0.53
f(x)=1⋅sin⁡(x),radius=1sin⁡(x)f(x) = 1 \cdot \sin(x), \quad \text{radius} = 1 \sin(x)
V=∫0ππ⋅(1sin⁡x)2 dx=12π22V = \int_0^\pi \pi \cdot (1 \sin x)^2 \, dx = \frac{{1}^2 \pi^2}{2}
24-4-2246810f(x) = k sin(x) (ऊपर)-k sin(x) (नीचे)π[f(x)]² (डिस्क क्षेत्रफल)
जोड़

वक्रों की जोड़ी (ऊपरी और निचली) परिक्रमण ठोस का प्रोफ़ाइल दिखाती है। k*sin(x) को 0 से pi तक घुमाने पर फ़ुटबॉल जैसी आकृति बनती है। k बढ़ाने पर फ़ुटबॉल चौड़ा होता है, और घनफल k^2 के अनुपात में बदलता है — क्योंकि डिस्क का क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग पर निर्भर करता है।

4. विभिन्न ठोसों की तुलना

अलग-अलग फलन नाटकीय रूप से अलग ठोस बनाते हैं। आइए अंतराल [0, 2] पर तीन परिक्रमणों की तुलना करें:

51015202530πx² (y=x घुमाएँ)πx⁴ (y=x² घुमाएँ)πx (y=sqrt(x) घुमाएँ)
Rotate y=x:V=πb33\text{Rotate } y = x: \quad V = \frac{\pi b^3}{3}
Rotate y=x2:V=πb55\text{Rotate } y = x^2: \quad V = \frac{\pi b^5}{5}
Rotate y=x:V=πb22\text{Rotate } y = \sqrt{x}: \quad V = \frac{\pi b^2}{2}

फलन जितनी तेज़ी से बढ़ता है, डिस्क के क्षेत्रफल उतनी तेज़ी से बढ़ते हैं, और घनफल उतना बड़ा होता है।

5. सीमाओं को बदलना

समाकलन (integration) की सीमाएँ नियंत्रित करती हैं कि वक्र का कौन-सा हिस्सा घुमाया जाएगा। सीमाओं को खिसकाकर देखें कि घनफल कैसे बदलता है।

a (बायीं सीमा)0
02
b (दायीं सीमा)3
15
V=∫03πx2 dx=π3(33−03)V = \int_{{0}}^{{3}} \pi x^2 \, dx = \frac{\pi}{3}\left(3^3 - 0^3\right)
5-55101520253035404550f(x) = x-f(x) = -xπx² (डिस्क क्षेत्रफल)ab
यह आज़माएं

यह आज़माएं: a = 0 और b = 3 रखें, तो आपको एक शंकु (cone) मिलता है (घनफल = 9pi)। a को 1 पर ले जाएँ: अब आपके पास एक छिन्नक (frustum) है (एक शंकु जिसकी नोक काट दी गई है)। घनफल pi/3 * (27 - 1) = 26pi/3 है। डिस्क विधि किसी भी सीमा को स्वाभाविक रूप से संभालती है।
चुनौती

चुनौती: जब आप रेखा y = 3 (एक क्षैतिज रेखा) को x = 0 से x = h तक x-अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं तो कौन-सा ठोस बनता है? इसका घनफल क्या है? आपको एक परिचित आकृति पहचाननी चाहिए।

संकेत: हर डिस्क की त्रिज्या एक समान है।

मुख्य विचार

परिक्रमण ठोस का घनफल निकालने के लिए, इसे अनंत पतली डिस्कों में काटें, प्रत्येक डिस्क का क्षेत्रफल (pi गुणा त्रिज्या का वर्ग) निकालें, और समाकलन करें।

डिस्क विधि एक त्रिविमीय (3D) घनफल की समस्या को एक-विमीय (1D) समाकल में बदल देती है। फलन का मान f(x) आपको त्रिज्या देता है, उसका वर्ग करने से डिस्क का क्षेत्रफल मिलता है, और समाकलन सभी डिस्कों को जोड़ता है। यह वही काटो-और-जोड़ो का दर्शन है जो रीमान योगों (Riemann sums) में था, बस अब तीन विमाओं में।

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