बीजगणित 2

परिमेय व्यंजक और बहुपद विभाजन (Rational Expressions & Polynomial Division)

परिमेय व्यंजक (rational expression) एक बहुपद (polynomial) को दूसरे से भाग देने पर बनता है — एक ऐसी भिन्न जहाँ अंश और हर दोनों बहुपद हैं। ये बीजगणित के सबसे नाटकीय और रोचक ग्राफ बनाते हैं: वक्र जो अनंत (infinity) तक जाते हैं, जिनमें छिद्र (gaps) होते हैं, और जो ऐसी रेखाओं के पास पहुँचते हैं जिन्हें कभी छू नहीं पाते।

भाग 1: सबसे सरल परिमेय फलन

सबसे बुनियादी परिमेय फलन (rational function) है:

f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}
-12-10-8-6-4-224681012-8-6-4-22468

दो मुख्य विशेषताओं पर ध्यान दें:

भाग 2: ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी — जहाँ सब कुछ विस्फोट करता है

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी वहाँ होती है जहाँ हर (denominator) शून्य होता है (और अंश भी उस बिंदु पर शून्य नहीं हो)।

f(x) = 1/(x - d) की खोज करें। अनंतस्पर्शी d के साथ चलती है:

अनंतस्पर्शी स्थिति (d)2
-55
f(x)=1x−2f(x) = \frac{1}{x - 2}
-12-10-8-6-4-224681012-8-6-4-22468
यह आज़माएं

d को इधर-उधर खींचें। ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी पीछे-पीछे आती है! जैसे-जैसे x दोनों तरफ से d के करीब पहुँचता है, फलन धनात्मक या ऋणात्मक अनंत तक उछलता है। हर (denominator) बहुत छोटा (लगभग शून्य) हो जाता है, जिससे भिन्न बहुत बड़ी हो जाती है।

भाग 3: समायोज्य परिमेय फलन

अब एक अधिक सामान्य रूप देखते हैं। रैखिक-भाग-रैखिक (linear-over-linear) परिमेय फलन:

f(x)=ax+bx+cf(x) = \frac{ax + b}{x + c}
अंश a1
-33
अंश b2
-55
हर c1
-55
f(x)=1x+2x+1f(x) = \frac{1x + 2}{x + 1}
-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810परिमेय फलनक्षैतिज अनंतस्पर्शी y = a
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मुख्य अवलोकन:

  • ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी x = -c पर है (जहाँ हर शून्य होता है)
  • क्षैतिज अनंतस्पर्शी y = a है (प्रमुख गुणांकों का अनुपात)
  • y-अंतःखंड f(0) = b/c है
  • b बदलने से वक्र हिलता है लेकिन अनंतस्पर्शियाँ नहीं बदलतीं

भाग 4: द्विघात अंश — दो मूल

जब अंश (numerator) द्विघात (quadratic) हो, तो फलन x-अक्ष को दो बार तक काट सकता है:

मूल 1 (p)1
-44
मूल 2 (q)-2
-44
अनंतस्पर्शी स्थिति0
-44
f(x)=(x−1)(x−−2)x−0f(x) = \frac{(x - 1)(x - -2)}{x - 0}
-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810x = -2x = 0x = 1
यह आज़माएं

स्थितियों के साथ खेलें:

  • फलन x = p और x = q पर शून्य होता है (अंश के मूल)
  • ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी हर के मूल पर है
  • जब आप मूल को अनंतस्पर्शी की स्थिति पर ले जाते हैं तो क्या होता है? p को अनंतस्पर्शी की स्थिति के बराबर करके देखें!

भाग 5: छिद्र बनाम अनंतस्पर्शी (Holes vs. Asymptotes)

यहाँ एक महत्वपूर्ण अंतर है। जब कोई गुणनखंड (factor) अंश और हर दोनों में निरस्त (cancel) हो जाता है, तो आपको अनंतस्पर्शी नहीं बल्कि छिद्र (hole) (हटाने योग्य असांतत्य / removable discontinuity) मिलता है।

इस पर विचार करें: f(x) = (x - h)(x + 1) / (x - h)। यहाँ (x - h) निरस्त हो जाता है!

छिद्र स्थिति (h)2
-44
f(x)=(x−2)(x+1)x−2=x+1 (with a hole at x = h)f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2} = x + 1 \text{ (with a hole at x = h)}
-12-10-8-6-4-224681012-8-6-4-22468छिद्र के साथy = x + 1 (सरलीकृत)
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छिद्र बनाम अनंतस्पर्शी:

  • छिद्र (Hole): एक गुणनखंड निरस्त होता है। ग्राफ सरलीकृत रूप जैसा दिखता है, बस एक बिंदु गायब होता है। अनंत तक कोई विस्फोट नहीं।
  • अनंतस्पर्शी (Asymptote): गुणनखंड निरस्त नहीं होता। ग्राफ अनंत तक उछलता है।

ऊपर के ग्राफ में, नीला वक्र बिल्कुल y = x + 1 जैसा दिखता है, लेकिन x = h पर एक अदृश्य छिद्र है। h को हिलाकर देखें कि छिद्र रेखा पर कैसे चलता है।

भाग 6: बहुपद दीर्घ विभाजन — तिर्यक अनंतस्पर्शी ढूँढना

जब अंश की घात हर से अधिक हो, तो बहुपद विभाजन एक तिर्यक (slant/oblique) अनंतस्पर्शी दिखाता है:

x2+bx+cx−d=(x+something)+remainderx−d\frac{x^2 + bx + c}{x - d} = (x + \text{something}) + \frac{\text{remainder}}{x - d}
b (अंश)0
-44
c (अंश)-2
-55
d (हर का मूल)1
-44
f(x)=x2+0x+−2x−1f(x) = \frac{x^2 + 0x + -2}{x - 1}
-25-20-15-10-5510152025-15-10-551015परिमेय फलनतिरछी अनंतस्पर्शी
चुनौती

चुनौती: f(x) = (x^2 - 4) / (x - 1) के लिए:

  1. ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी कहाँ है? (d = 1, b = 0, c = -4 सेट करें)
  2. तिर्यक अनंतस्पर्शी क्या है? (विभाजन करें!)
  3. f(x) x-अक्ष को कहाँ काटता है? (अंश = 0: x^2 - 4 = 0 रखें)

तिर्यक अनंतस्पर्शी लगभग y = x + d + b है। ग्राफ पर जाँचें!

सारांश

विशेषताकैसे ढूँढें
ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शीहर = 0 रखें (अगर गुणनखंड निरस्त नहीं होता)
क्षैतिज अनंतस्पर्शीघातों की तुलना करें: समान घात = प्रमुख गुणांकों का अनुपात
छिद्र (Hole)वो गुणनखंड जो अंश और हर दोनों में निरस्त हो
x-अंतःखंडअंश = 0 रखें
तिर्यक अनंतस्पर्शीबहुपद दीर्घ विभाजन करें जब अंश की घात = हर की घात + 1

परिमेय फलन बहुपदों के व्यवहार को शून्य से भाग के नाटक के साथ मिलाते हैं। अनंतस्पर्शियों और छिद्रों में महारत हासिल करें, और आप किसी भी परिमेय फलन का ग्राफ हाथ से बना सकेंगे।

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