बीजगणित 2

वर्ग पूरा करना और द्विघात सूत्र (Completing the Square & Quadratic Formula)

आपने द्विघात समीकरण (quadratic) मानक रूप में देखे हैं: ax^2 + bx + c। लेकिन एक और रूप है जो शीर्ष (vertex) को सीधे दिखाता है — और उस रूप तक पहुँचने की विधि को वर्ग पूरा करना (completing the square) कहते हैं। इसी विधि से द्विघात सूत्र भी निकलता है।

भाग 1: मानक रूप — a, b, c क्या नियंत्रित करते हैं?

मानक रूप से शुरू करें और देखें कि हर गुणांक परवलय (parabola) को कैसे आकार देता है:

a (वक्रता)1

-33

b (झुकाव)-2

-66

c (y-अंतःखंड)-3

-55

f(x) = 1x^2 + -2x + -3

यह आज़माएं

देखें कि गुणांक कैसे काम करते हैं:

a वक्रता नियंत्रित करता है: धनात्मक = ऊपर खुलता है, ऋणात्मक = नीचे खुलता है
b शीर्ष को बाएँ-दाएँ (और जटिल तरीके से ऊपर-नीचे) खिसकाता है
c वह बिंदु है जहाँ परवलय y-अक्ष को काटता है (x = 0 रखें)

लेकिन a, b, c से शीर्ष ढूंढना आसान नहीं है। इसीलिए हमें शीर्ष रूप चाहिए!

भाग 2: शीर्ष रूप — स्पष्ट तस्वीर

द्विघात का शीर्ष रूप (vertex form) है:

f(x) = a(x - h)^2 + k

यहाँ (h, k) शीर्ष है — सबसे ऊँचा या सबसे नीचा बिंदु। आइए देखें:

a (वक्रता)1

-33

h (शीर्ष x)1

-55

k (शीर्ष y)-4

-55

f(x) = 1(x - 1)^2 + -4

यह आज़माएं

अब शीर्ष स्पष्ट है! (h, k) समीकरण में सीधे दिख रहा है।

h परवलय को बाएँ और दाएँ खिसकाता है
k इसे ऊपर और नीचे खिसकाता है
a अभी भी वक्रता नियंत्रित करता है

मानक रूप से तुलना करें — शीर्ष a, b, c में छिपा है लेकिन h, k में दिखता है।

भाग 3: वर्ग पूरा करना — रूपांतरण

यह चरणबद्ध प्रक्रिया है। ax^2 + bx + c से शुरू करते हुए:

पहले दो पदों से a बाहर निकालें: a(x^2 + (b/a)x) + c
कोष्ठक के अंदर (b/2a)^2 जोड़ें और घटाएँ
पूर्ण वर्ग त्रिपद को गुणनखंडित करें
सरल करके a(x - h)^2 + k प्राप्त करें

शीर्ष यहाँ है:

h = -\frac0{2a}, \quad k = c - \frac{b^2}{4a}

अपने स्लाइडरों से इसकी पुष्टि करें। a, b, c सेट करें और गणना किया हुआ शीर्ष देखें:

0.53

-66

-55

\text{Standard: } 1x^2 + 4x + 1

h = -\frac{4}{2 \times 1}, \quad k = 1 - \frac{4^2}{4 \times 1}

जोड़

शीर्ष सूत्र h = -b/(2a) सीधे वर्ग पूरा करने से आता है। यह अलग से रटने की चीज़ नहीं है — यह बीजगणित का परिणाम है। a = 1, b = 4, c = 1 आज़माएँ। शीर्ष h = -2, k = -3 पर होना चाहिए।

भाग 4: विविक्तकर — कितने मूल हैं?

विविक्तकर (discriminant) बताता है कि परवलय x-अक्ष को कितनी बार काटता है:

\Delta = b^2 - 4ac

0.52

-66

c-3

-55

\Delta = 2^2 - 4(1)(-3)

यह आज़माएं

विविक्तकर के साथ प्रयोग करें:

Delta > 0: दो वास्तविक मूल — परवलय x-अक्ष को दो बार काटता है (a=1, b=2, c=-3 आज़माएँ)
Delta = 0: एक दोहरा मूल — शीर्ष x-अक्ष को छूता है (a=1, b=-2, c=1 आज़माएँ)
Delta < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं — परवलय x-अक्ष तक नहीं पहुँचता (a=1, b=0, c=2 आज़माएँ)

विविक्तकर आपको हल करने से पहले ही उत्तर बता देता है!

भाग 5: द्विघात सूत्र (Quadratic Formula)

सामान्य समीकरण ax^2 + bx + c = 0 पर वर्ग पूरा करने से हमें द्विघात सूत्र मिलता है:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

विविक्तकर (b^2 - 4ac) वर्गमूल के अंदर है — इसीलिए यह मूलों की संख्या तय करता है!

0.53

b-1

-66

c-6

-55

x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)}

चुनौती

चुनौती: द्विघात सूत्र से इन्हें हल करें, फिर ग्राफ़ से पुष्टि करें:

x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6 रखें)
2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2 रखें)
x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5 रखें) — क्या होता है?

#3 के लिए, विविक्तकर ऋणात्मक है। द्विघात सूत्र सम्मिश्र संख्याएँ (complex numbers) देता है — परवलय x-अक्ष को कभी नहीं काटता!

सारांश

अवधारणा	मुख्य विचार
मानक रूप	ax^2 + bx + c — y-अंतःखंड ढूंढने के लिए अच्छा
शीर्ष रूप	a(x-h)^2 + k — शीर्ष (h,k) सीधे दिखाता है
वर्ग पूरा करना	मानक रूप को शीर्ष रूप में बदलता है
शीर्ष की स्थिति	h = -b/(2a), k = c - b^2/(4a)
विविक्तकर	b^2 - 4ac बताता है: 2 मूल, 1 मूल, या 0 वास्तविक मूल
द्विघात सूत्र	x = (-b +/- sqrt(विविक्तकर)) / (2a)

वर्ग पूरा करना सिर्फ एक विधि नहीं है — यही कारण है कि द्विघात सूत्र काम करता है। हर बार जब आप सूत्र का उपयोग करते हैं, तो आप छिपे हुए रूप में वर्ग पूरा कर रहे होते हैं।

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