बीजगणित 2

करणी और परिमेय घातांक (Radicals & Rational Exponents)

आप जानते हैं कि किसी संख्या का वर्ग (square) करना और वर्गमूल (square root) लेना एक-दूसरे के विपरीत हैं। लेकिन वर्गमूल से आगे क्या? घनमूल (cube root), चतुर्थ मूल (fourth root), और उससे आगे? और ये घातांकों (exponents) से कैसे जुड़ते हैं?

आइए पता करते हैं।

भाग 1: वर्गमूल — मूल बातें

किसी संख्या का वर्गमूल पूछता है: कौन-सी संख्या, खुद से गुणा करने पर, यह संख्या देती है?

x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}

वर्गमूल फलन (square root function) ऐसा दिखता है:

246810121416-2246

ध्यान दें कि यह सिर्फ x >= 0 के लिए मौजूद है (वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल नहीं ले सकते) और यह धीरे-धीरे बढ़ता है — y में उतनी ही वृद्धि के लिए x में अधिक से अधिक बड़ी छलाँग चाहिए।

भाग 2: घनमूल और उससे आगे

घनमूल (cube root) पूछता है: कौन-सी संख्या, खुद से तीन बार गुणा करने पर, यह संख्या देती है?

x3=x1/3\sqrt[3]{x} = x^{1/3}

वर्गमूल से अलग, घनमूल ऋणात्मक संख्याओं के लिए भी काम करता है (क्योंकि ऋणात्मक × ऋणात्मक × ऋणात्मक = ऋणात्मक):

-10-8-6-4-2246810-4-224y = sqrt(x)y = cbrt(x)
यह आज़माएं

दोनों वक्रों की तुलना करें:

  • वर्गमूल (बैंगनी) सिर्फ x >= 0 के लिए मौजूद है
  • घनमूल (लाल) ऋणात्मक x मानों तक फैला है
  • दोनों (0, 0) और (1, 1) से गुज़रते हैं
  • घनमूल मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है

भाग 3: मुख्य विचार — परिमेय घातांक (Rational Exponents)

यह वो मुख्य संबंध है जो मूलों (roots) और घातांकों (exponents) को जोड़ता है:

x1/n=xnx^{1/n} = \sqrt[n]{x}

घातांक का हर (denominator) बताता है कि कौन-सा मूल लेना है:

n बदलने के लिए स्लाइडर का उपयोग करें और देखें कि मूल फलन का आकार कैसे बदलता है:

मूल सूचकांक (n)2
28
y=x1/2=x2y = x^{1/2} = \sqrt[2]{x}
-112345678910-11234y = x^(1/n)y = x (संदर्भ)
यह आज़माएं

n बढ़ने पर क्या होता है, देखें:

  • n = 2: जाना-पहचाना वर्गमूल वक्र
  • n = 3: शुरू में चपटा, फिर तेज़ी से ऊपर जाता है
  • n = 8: लगभग सपाट — बड़ी संख्याओं का 8वाँ मूल भी 1 के करीब होता है

x = 256 पर: sqrt(256) = 16, लेकिन 256 का 8वाँ मूल = 2। ऊँचे मूल संख्याओं को बहुत अधिक “संपीड़ित (compress)” करते हैं।

भाग 4: घात और मूल को मिलाना

x^(2/3) जैसे घातांक के बारे में क्या? नियम यह है:

xm/n=(xn)m=xmnx^{m/n} = \left(\sqrt[n]{x}\right)^m = \sqrt[n]{x^m}

आप पहले मूल ले सकते हैं फिर घात लगा सकते हैं, या पहले घात लगाकर फिर मूल ले सकते हैं — दोनों तरीकों से एक ही उत्तर आता है।

अंश (m)2
15
हर (n)3
26
y=x2/3y = x^{ 2/3 }
-4-3-2-112345678910111213-112345678910y = x^(m/n)y = x (संदर्भ)
जोड़

वक्र y = x के ऊपर कब होता है और नीचे कब?

  • अगर m/n < 1, तो वक्र y = x के नीचे होता है (आप मूल ले रहे हैं, जो 1 से बड़ी संख्याओं को छोटा करता है)
  • अगर m/n > 1, तो वक्र y = x के ऊपर होता है (आप घात लगा रहे हैं, जो 1 से बड़ी संख्याओं को बड़ा करता है)
  • अगर m/n = 1, तो बस y = x ही मिलता है

भाग 5: मूलों के साथ ऋणात्मक घातांक

याद रखें कि ऋणात्मक घातांक का मतलब है “व्युत्क्रम (reciprocal) लो”:

x−1/n=1x1/n=1xnx^{-1/n} = \frac{1}{x^{1/n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x}}
n (x^(-1/n) में)2
26
12345678910-11234x^(1/n)x^(-1/n)

धनात्मक घातांक वक्र ऊपर जाता है; ऋणात्मक घातांक वक्र नीचे आता है। ये एक-दूसरे की दर्पण छवि हैं (x = 1 पर y = 1 के सापेक्ष परावर्तित)।

सारांश

व्यंजक (Expression)अर्थ
x^(1/2)x का वर्गमूल
x^(1/3)x का घनमूल
x^(1/n)x का n-वाँ मूल
x^(m/n)x का n-वाँ मूल, m घात तक
x^(-1/n)1 / (x का n-वाँ मूल)
चुनौती

चुनौती: बिना कैलकुलेटर के सरल करें:

  1. 27^(1/3)
  2. 16^(3/4)
  3. 8^(-2/3)

संकेत: हर एक को “पहले मूल, फिर घात” में तोड़ें। उदाहरण: 27^(1/3) = 27 का घनमूल = 3।

परिमेय घातांक मूलों को लिखने का बस एक अलग तरीका है। एक बार जब आप इन्हें एक ही चीज़ के रूप में देख लें, तो x^(2/5) जैसे व्यंजक डरावने नहीं लगेंगे — बस “5वाँ मूल लो, फिर वर्ग करो।”

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