अनुक्रम एवं सदिश

सदिश: दिशा + परिमाण

सदिश (vector) एक ऐसी राशि है जिसमें आकार (परिमाण) और दिशा दोनों होती हैं। वेग, बल और विस्थापन सब सदिश हैं — ये आपको सिर्फ़ “कितना” नहीं, बल्कि “किस दिशा में” भी बताते हैं। सिर्फ़ एक संख्या (जैसे तापमान या द्रव्यमान) अदिश (scalar) कहलाती है। सदिश भौतिकी, इंजीनियरिंग और कंप्यूटर ग्राफ़िक्स की भाषा हैं।

सदिश कैसा दिखता है

दो विमाओं (dimensions) में एक सदिश को दो तरीकों से बताया जा सकता है:

परिमाण2
0.54
कोण (रेडियन)0.79
06.28
v⃗=2 ∠ 0.79 rad=(2cos⁡0.79,  2sin⁡0.79)\vec{v} = 2\,\angle\,0.79 \text{ rad} = (2\cos0.79,\; 2\sin0.79)

हम सदिश को मूल बिंदु से (mag * cos(angle), mag * sin(angle)) तक की रेखा के रूप में देख सकते हैं:

-8-7-6-5-4-3-2-112345678-5-4-3-2-112345सदिश दिशाy-घटकx-अक्ष

बैंगनी रेखा सदिश की दिशा दिखाती है। लाल क्षैतिज रेखा y-घटक (ऊपर या नीचे कितना) दिखाती है। x-घटक मूल बिंदु से सदिश के सिरे तक की क्षैतिज दूरी है।

यह आज़माएं

कोण को 0 रेडियन पर सेट करें। सदिश पूरी तरह दाईं ओर इशारा करता है — इसका x-घटक परिमाण के बराबर है और y-घटक 0 है। अब कोण को pi/2 (लगभग 1.57) पर सेट करें। सदिश सीधा ऊपर इशारा करता है — पूरा y-घटक, कोई x-घटक नहीं। त्रिकोणमितीय फलन सदिश को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर भागों में विभाजित करते हैं।

घटक रूप (Component Form)

सदिशों के साथ काम करने का सबसे आम तरीका घटक रूप है: v = (v_x, v_y)।

परिमाण |v| और कोण theta दिए हों तो:

दूसरी दिशा में जाएँ तो:

v_x (क्षैतिज)3
-44
v_y (ऊर्ध्वाधर)2
-44
v⃗=(3,  2),∣v⃗∣=32+22\vec{v} = (3,\; 2), \quad |\vec{v}| = \sqrt{ 3^2 + 2^2 }
-8-7-6-5-4-3-2-112345678-5-4-3-2-112345सदिश रेखाv_y स्तरx-अक्ष

सदिश योग: समांतर चतुर्भुज नियम

जब आप दो सदिशों को जोड़ते हैं, तो उन्हें सिरे-से-पूँछ (tip-to-tail) रखते हैं। परिणामी (resultant) सदिश पहले की शुरुआत से दूसरे के अंत तक जाता है। घटक रूप में यह बहुत सरल है:

(a_x, a_y) + (b_x, b_y) = (a_x + b_x, a_y + b_y)

a_x2
-33
a_y1
-33
b_x1
-33
b_y2
-33
1⃗+0⃗=(2+1,  1+2)\vec1 + \vec0 = (2 + 1,\; 1 + 2)
-8-7-6-5-4-3-2-112345678-5-4-3-2-112345सदिश aसदिश bresultant a+b

बैंगनी रेखा सदिश a है, लाल रेखा सदिश b है, और हरी रेखा परिणामी (a + b) है। परिणामी हमेशा दोनों मूल सदिशों के बीच आता है, जैसे उनकी दिशाओं का समझौता।

जोड़

भौतिकी में, सदिश योग इसी तरह बल संयोजित होते हैं। अगर दो लोग एक बक्से को थोड़ी अलग दिशाओं में धकेलें, तो बक्सा परिणामी सदिश की दिशा में चलता है। इसीलिए एक नाव जो नदी को तिरछे पार करती है, वह कुछ नीचे की ओर पहुँचती है — उसका वेग और नदी की धारा सदिशों के रूप में जुड़ते हैं।

अदिश गुणन (Scalar Multiplication)

किसी सदिश को अदिश k से गुणा करने पर उसका परिमाण |k| गुना हो जाता है और अगर k ऋणात्मक हो तो दिशा उलट जाती है:

k * (v_x, v_y) = (k * v_x, k * v_y)

अदिश k1
-33
k⋅v⃗=1⋅(2,1)=(1⋅2,  1⋅1)k \cdot \vec{v} = 1 \cdot (2, 1) = (1 \cdot 2,\; 1 \cdot 1)
-8-7-6-5-4-3-2-112345678-5-4-3-2-112345v = (2,1)k * v दिशा

बिंदु गुणनफल (Dot Product)

दो सदिशों का बिंदु गुणनफल (dot product) एक अदिश देता है:

a . b = a_x * b_x + a_y * b_y = |a| |b| cos(theta)

जहाँ theta दोनों सदिशों के बीच का कोण है। बिंदु गुणनफल बताता है कि दो सदिश दिशा में कितने “सहमत” हैं।

a का कोण0.5
06.28
b का कोण1.2
06.28
1⃗⋅0⃗=∣1⃗∣∣0⃗∣cos⁡(θb−θa)\vec1 \cdot \vec0 = |\vec1||\vec0|\cos(\theta_b - \theta_a)
-6-5-4-3-2-1123456-4-3-2-11234सदिश aसदिश bबीच का cos
यह आज़माएं

कोणों को ऐसे सेट करें कि दोनों सदिश लंबवत हों (लगभग 1.57 रेडियन का अंतर)। cos(बीच का कोण) दिखाने वाली पीली रेखा शून्य तक गिर जाती है। यह लंबवतता की ज्यामितीय परीक्षा है: दो सदिश लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका बिंदु गुणनफल (dot product) शून्य हो।

एकक सदिश (Unit Vectors)

एकक सदिश (unit vector) का परिमाण 1 होता है। किसी भी सदिश को एकक सदिश बनाने के लिए उसे उसके परिमाण से भाग दें:

u = v / |v|

एकक सदिश उपयोगी हैं क्योंकि वे केवल दिशा बताते हैं, परिमाण की कोई जानकारी नहीं। मानक एकक सदिश i = (1, 0) और j = (0, 1) हैं, इसलिए कोई भी सदिश (a, b) को ai + bj के रूप में लिखा जा सकता है।

चुनौती

चुनौती: एक विमान 300 mph की गति से उत्तर की ओर (कोण = pi/2) उड़ रहा है। एक क्रॉसविंड (crosswind) 40 mph पर पूर्व की ओर (कोण = 0) बह रही है। दोनों को घटक रूप में सदिशों के रूप में लिखें, उन्हें जोड़ें, और विमान की वास्तविक गति और दिशा ज्ञात करें। विमान अपने मार्ग से कितने डिग्री भटक गया है?
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