गुणनखंडित रूप और मूल (Factored Form & Roots)
आप द्विघाती (quadratic) का मानक रूप पहले से जानते हैं: y = ax² + bx + c। लेकिन एक और तरीका है उसी फलन को लिखने का जिसमें मूल (roots) साफ़ नज़र आ जाते हैं। इसे गुणनखंडित रूप (factored form) कहते हैं।
गुणनखंडित रूप क्या है?
सभी पदों को अलग-अलग लिखने की बजाय, हम लिखते हैं:
y = a(x - r₁)(x - r₂)
जहाँ r₁ और r₂ मूल हैं — वे x-मान जहाँ परवलय (parabola) x-अक्ष को काटता है। नीचे स्लाइडर्स से देखें कि हर हिस्सा कैसे काम करता है।
ये प्रयोग करके देखें:
- r₁ और r₂ को खिसकाएं — मूल x-अक्ष पर तुरंत सरकते हैं।
- r₁ = r₂ करें — परवलय अक्ष को बस छूता है (दोहरा मूल)।
- a को ऋणात्मक बनाएं — परवलय नीचे की ओर खुलता है, लेकिन मूल अपनी जगह पर ही रहते हैं!
इन्हें “मूल” (Roots) क्यों कहते हैं?
समीकरण y = a(x - r₁)(x - r₂) को देखें। जब आप x = r₁ रखते हैं, तो पहला गुणनखंड शून्य हो जाता है, इसलिए y = 0। यही बात x = r₂ के लिए भी सच है। ठीक इसीलिए r₁ और r₂ x-अंतःखंड (x-intercepts) हैं — वे पूरे व्यंजक को शून्य बना देते हैं।
मानक रूप में विस्तार
अगर आप a(x - r₁)(x - r₂) को गुणा करके खोलें, तो मानक रूप मिलता है। बीजगणित इस प्रकार है:
- पहले: (x - r₁)(x - r₂) = x² - (r₁ + r₂)x + r₁·r₂
- फिर a से गुणा: y = ax² - a(r₁ + r₂)x + a·r₁·r₂
तो गुणांकों का संबंध है:
- b = -a(r₁ + r₂)
- c = a · r₁ · r₂
रूपों को जोड़कर समझें: शीर्ष रूप (vertex form) y = a(x - h)² + k आपको चोटी या गहराई बताता है। गुणनखंडित रूप y = a(x - r₁)(x - r₂) आपको x-अंतःखंड बताता है। मानक रूप y = ax² + bx + c आपको y-अंतःखंड बताता है (जब x = 0, y = c)। तीनों एक ही परवलय का वर्णन करते हैं — बस अलग-अलग विशेषताओं को उजागर करते हैं।
गुणनखंडित रूप बनाम मानक रूप की तुलना
यहाँ एक ही परवलय दोनों दृष्टिकोणों से खींचा गया है। वे पूरी तरह एक-दूसरे पर बैठते हैं क्योंकि दोनों एक ही फलन हैं, बस दो अलग तरीकों से लिखे गए हैं।
दोनों वक्र एक-दूसरे पर बिल्कुल सटे हुए हैं — गुणनखंडित रूप और मानक रूप एक ही द्विघाती को देखने के दो लेंस हैं।
चुनौती: क्या आप स्लाइडर्स ऐसे सेट कर सकते हैं कि परवलय (−1, 0) और (4, 0) से गुज़रे और इसका शीर्ष y = −6.25 पर हो? संकेत: जब आप मूल जान लें तो सोचें कि a क्या होना चाहिए।