प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trig Functions)
आप जानते हैं कि sin(30 डिग्री) = 0.5। लेकिन अगर कोई आपको उत्तर (0.5) दे और कोण पूछे? यही काम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन करते हैं — वे अनुपात से कोण तक उल्टा जाते हैं। पेचीदा बात? त्रिकोणमितीय फलन हमेशा दोहराते रहते हैं, इसलिए हमें बहुत सावधानी से चुनना होगा कि कौन सा कोण लें।
1. Sin(x) का प्रतिलोम क्यों नहीं होता (शुरू में)
आइए sin(x) पर क्षैतिज रेखा परीक्षण (horizontal line test) लगाएं। रेखा को ऊपर-नीचे खिसकाएं और गिनें कि यह साइन वक्र को कितनी बार काटती है।
क्षैतिज रेखा साइन वक्र को अनंत जगहों पर काटती है! उदाहरण के लिए, sin(x) = 0.5 के हल हैं x = pi/6, 5pi/6, 13pi/6, और आगे अनंत तक। इसका मतलब sin(x) सभी वास्तविक संख्याओं पर एक-एक (one-to-one) नहीं है। प्रतिलोम बनाने के लिए, हमें प्रांत (domain) को सीमित करना होगा उस अंतराल तक जहाँ sin एक-एक है।
2. सीमित साइन और आर्कसाइन (Arcsin)
हम साइन को अंतराल [-pi/2, pi/2] तक सीमित करते हैं, जहाँ यह -1 से 1 तक बिना दोहराए जाता है। इस अंतराल पर यह क्षैतिज रेखा परीक्षण पास करता है, इसलिए प्रतिलोम मौजूद है। इस प्रतिलोम को आर्कसाइन (arcsin) या sin-प्रतिलोम कहते हैं।
इनपुट स्लाइडर खिसकाएं। ध्यान दें कि arcsin केवल -1 और 1 के बीच के इनपुट स्वीकार करता है (साइन की परास), और केवल -pi/2 और pi/2 के बीच के कोण देता है (लगभग -1.57 से 1.57)। वक्र केवल इस आयत में मौजूद है — यही सीमित प्रांत और परास का असर है।
3. आर्ककॉसाइन (Arccos) — कोसाइन का प्रतिलोम
कोसाइन के लिए, हम प्रांत को [0, pi] तक सीमित करते हैं, जहाँ cos एकदिशीय रूप से 1 से -1 तक जाता है। प्रतिलोम को आर्ककॉसाइन (arccos) कहते हैं।
Arccos का प्रांत arcsin जैसा ही है (इनपुट -1 और 1 के बीच), लेकिन इसकी परास अलग है: यह 0 से pi (लगभग 0 से 3.14) के बीच के कोण देता है। ध्यान दें कि arccos एक ह्रासमान (decreasing) फलन है — बड़े इनपुट छोटे कोण देते हैं। ऐसा इसलिए क्योंकि कोसाइन [0, pi] पर घटता है।
4. आर्कटैन (Arctan) — टैंजेंट का प्रतिलोम
टैंजेंट (-pi/2, pi/2) तक सीमित है, जहाँ यह ऋणात्मक अनंत से धनात्मक अनंत तक जाता है। प्रतिलोम, आर्कटैन (arctan), कोई भी वास्तविक संख्या स्वीकार करता है और उस परास में एक कोण देता है।
Arctan सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है — आप इनपुट को कहीं भी खिसका सकते हैं। लेकिन आउटपुट कभी pi/2 से ऊपर या -pi/2 से नीचे नहीं जाता। वे क्षैतिज सीमाएं arctan वक्र की अनंतस्पर्शी (asymptotes) कहलाती हैं। इनपुट कितना भी बड़ा हो, कोण 90 डिग्री के करीब पहुँचता है लेकिन कभी उस तक नहीं पहुँचता।
5. तीनों प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की तुलना
आइए arcsin, arccos, और arctan को एक ही ग्राफ पर देखें ताकि उनके प्रांत, परास, और आकार की तुलना कर सकें।
एक ही इनपुट मान पर तीनों फलन अलग-अलग कोण देते हैं क्योंकि वे अलग-अलग सवालों का जवाब दे रहे हैं। ध्यान दें कि हर मान्य इनपुट के लिए arcsin(x) + arccos(x) = pi/2 होता है। ऐसा इसलिए क्योंकि sin(theta) = cos(pi/2 - theta), तो अगर theta एक का जवाब है, तो pi/2 - theta दूसरे का।
6. अनुपात से वापस कोण तक
यहाँ व्यावहारिक उपयोग है। किसी साइन मान से arcsin कोण बताता है। आइए इसे दृश्य रूप से देखें: सीमित साइन वक्र पर एक y-मान चुनें, और संबंधित कोण देखें।
चुनौती: स्लाइडर का उपयोग करके वह कोण खोजें जिसका साइन 0.866 है। आपको लगभग pi/3 (करीब 1.047) मिलना चाहिए। अब वह कोण खोजें जिसका साइन -0.707 है। वह लगभग -pi/4 (करीब -0.785) होना चाहिए। दोनों मामलों में, arcsin [-pi/2, pi/2] में अद्वितीय उत्तर देता है। अगर आपको किसी अन्य चतुर्थांश (quadrant) में उत्तर चाहिए, तो आप संदर्भ कोणों (reference angles) और एकक वृत्त (unit circle) का उपयोग करेंगे।