ज्यामिति (Geometry)

दूरी और मध्य बिंदु (Distance & Midpoint)

निर्देशांक तल (coordinate plane) पर दो बिंदु दिए होने पर, दो सबसे उपयोगी चीज़ें जो आप निकाल सकते हैं वे हैं उनके बीच की दूरी (distance) और उन्हें जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु (midpoint)।

अपने दो बिंदु सेट करें

स्लाइडर का उपयोग करके दो बिंदुओं को तल पर कहीं भी रखें।

x₁-3
-88
y₁-2
-88
x₂4
-88
y₂5
-88
P1=(−3,  −2)P2=(4,  5)P_1 = (-3,\; -2) \qquad P_2 = (4,\; 5)

दूरी का सूत्र (Distance Formula)

दो बिंदुओं के बीच की दूरी दरअसल पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean theorem) का ही दूसरा रूप है। क्षैतिज अंतर एक भुजा है, ऊर्ध्वाधर अंतर दूसरी भुजा है, और दूरी कर्ण (hypotenuse) है।

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2=(4−−3)2+(5−−2)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(4 - -3)^2 + (5 - -2)^2}
जोड़

पाइथागोरस से संबंध: दूरी का सूत्र कोई नया विचार नहीं है — यह a² + b² = c² को निर्देशांक तल पर लागू करना है। “भुजाएं” x और y निर्देशांकों के अंतर हैं।

रेखाखंड को देखना

P₁ से P₂ को जोड़ने वाली रेखा नीचे दिखाई गई है। यह रेखा दोनों बिंदुओं से होकर गुज़रती है और इसकी ढलान (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) है।

-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810खंड P₁P₂मध्यबिंदु y-स्तर

पीली क्षैतिज रेखा मध्य बिंदु के y-निर्देशांक को दर्शाती है।

मध्य बिंदु का सूत्र (Midpoint Formula)

मध्य बिंदु बस दो सिरे के बिंदुओं का औसत (average) है — x-निर्देशांकों का औसत और y-निर्देशांकों का औसत:

M=(x1+x22,  y1+y22)=(−3+42,  −2+52)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{ -3 + 4 }{2},\; \frac{ -2 + 5 }{2}\right)
यह आज़माएं

यह आज़माएं:

  • दोनों बिंदुओं को एक ही जगह रखें — दूरी 0 होगी और मध्य बिंदु वही बिंदु होगा।
  • बिंदुओं को मूल बिंदु (origin) के सापेक्ष सममित रखें — मध्य बिंदु (0, 0) पर आ जाएगा।
  • बाकी सब स्थिर रखते हुए केवल x₂ को हिलाएं — देखें मध्य बिंदु कैसे खिसकता है।

दूरी एक फलन के रूप में

नीचे, x-अक्ष x₂ (दूसरे बिंदु का x-निर्देशांक) को दर्शाता है, और वक्र दिखाता है कि दूरी कैसे बदलती है। ध्यान दें कि यह V-आकार (निरपेक्ष मान व्यवहार) बनाता है — दूरी सबसे कम तब है जब x₂ = x₁ हो और दोनों दिशाओं में बढ़ती है।

-12-10-8-6-4-2246810122468101214

इस वक्र का न्यूनतम x = x₁ पर है, जहाँ क्षैतिज दूरी शून्य है। उस बिंदु पर कुल दूरी केवल |y₂ - y₁| है।

रेखाखंड की ढलान (Slope)

जब हम यहाँ हैं, दो बिंदुओं से गुज़रने वाली रेखा की ढलान है:

m=y2−y1x2−x1=5−−24−−3m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{ 5 - -2 }{ 4 - -3 }
चुनौती

चुनौती: ऐसे दो बिंदु खोजें जो ठीक 10 इकाई दूर हों और जिनका मध्य बिंदु (1, 2) पर हो। अनंत उत्तर संभव हैं — क्या आप कम से कम दो खोज सकते हैं? (संकेत: (1, 2) को केंद्र मानकर 5 त्रिज्या वाले वृत्त के बारे में सोचें।)
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