Geometría

Distancia y punto medio

Dados dos puntos en el plano cartesiano, dos de las cosas mas utiles que puedes calcular son la distancia entre ellos y el punto medio a mitad de camino del segmento que los conecta.

Coloca tus dos puntos

Usa los deslizadores para ubicar dos puntos en cualquier lugar del plano.

x₁-3
-88
y₁-2
-88
x₂4
-88
y₂5
-88
P1=(−3,  −2)P2=(4,  5)P_1 = (-3,\; -2) \qquad P_2 = (4,\; 5)

La formula de la distancia

La distancia entre dos puntos es simplemente el teorema de Pitagoras disfrazado. La diferencia horizontal es un cateto, la diferencia vertical es el otro, y la distancia es la hipotenusa.

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2=(4−−3)2+(5−−2)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(4 - -3)^2 + (5 - -2)^2}
Conexion

Conexion pitagorica: La formula de la distancia no es una idea nueva — es a2 + b2 = c2 aplicado al plano cartesiano. Los “catetos” son las diferencias en las coordenadas x e y.

Visualizando el segmento

La linea que conecta P1 con P2 se muestra abajo. La linea pasa por ambos puntos con pendiente (y2 - y1) / (x2 - x1).

-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810Segmento P₁P₂Nivel y del punto medio

La linea horizontal amarilla marca la coordenada y del punto medio.

La formula del punto medio

El punto medio es simplemente el promedio de los dos extremos — promedia las coordenadas x y promedia las coordenadas y:

M=(x1+x22,  y1+y22)=(−3+42,  −2+52)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{ -3 + 4 }{2},\; \frac{ -2 + 5 }{2}\right)
Prueba Esto

Prueba esto:

  • Coloca ambos puntos en la misma ubicacion — la distancia es 0 y el punto medio es ese mismo punto.
  • Coloca los puntos simetricamente respecto al origen — el punto medio queda en (0, 0).
  • Mueve solo x2 manteniendo todo lo demas fijo — observa como el punto medio se desliza.

La distancia como funcion

Abajo, el eje x representa x2 (la coordenada x del segundo punto), y la curva muestra como cambia la distancia. Nota que forma una V (comportamiento de valor absoluto) — la distancia es minima cuando x2 = x1 y crece en ambas direcciones.

-12-10-8-6-4-2246810122468101214

El minimo de esta curva ocurre en x = x1, donde la distancia horizontal es cero. En ese punto, la distancia total es solo |y2 - y1|.

Pendiente del segmento

Ya que estamos aqui, la pendiente de la linea que pasa por dos puntos es:

m=y2−y1x2−x1=5−−24−−3m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{ 5 - -2 }{ 4 - -3 }
Desafio

Desafio: Encuentra dos puntos que esten exactamente a 10 unidades de distancia con punto medio en (1, 2). Hay infinitas respuestas — puedes encontrar al menos dos? (Pista: piensa en un circulo de radio 5 centrado en (1, 2).)
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