Forma Factorizada y Raíces
Ya conoces la forma estándar de una cuadrática: y = ax² + bx + c. Pero hay otra manera de escribir exactamente la misma función que hace que las raíces salten a la vista. Se llama forma factorizada.
¿Qué Es la Forma Factorizada?
En lugar de escribir todos los términos, escribimos:
y = a(x - r₁)(x - r₂)
donde r₁ y r₂ son las raíces — los valores de x donde la parábola cruza el eje x. Usa los controles deslizantes para ver cómo funciona cada parte.
Prueba estos experimentos:
- Mueve r₁ y r₂ — las raíces se deslizan a lo largo del eje x en tiempo real.
- Pon r₁ = r₂ — la parábola solo toca el eje (una raíz doble).
- Cambia a a un valor negativo — la parábola se abre hacia abajo, ¡pero las raíces se quedan en el mismo lugar!
¿Por Qué Se Llaman “Raíces”?
Observa la ecuación y = a(x - r₁)(x - r₂). Cuando sustituyes x = r₁, el primer factor se vuelve cero, así que y = 0. Lo mismo pasa con x = r₂. Esa es exactamente la razón por la que r₁ y r₂ son los interceptos con el eje x — hacen que toda la expresión sea cero.
Expandir a la Forma Estándar
Si multiplicas a(x - r₁)(x - r₂), obtienes la forma estándar. Aquí está el álgebra:
- Primero: (x - r₁)(x - r₂) = x² - (r₁ + r₂)x + r₁·r₂
- Luego multiplica por a: y = ax² - a(r₁ + r₂)x + a·r₁·r₂
Entonces los coeficientes están relacionados:
- b = -a(r₁ + r₂)
- c = a · r₁ · r₂
Conectando las formas: La forma vértice y = a(x - h)² + k te dice el punto más alto o más bajo. La forma factorizada y = a(x - r₁)(x - r₂) te dice los interceptos con el eje x. La forma estándar y = ax² + bx + c te dice el intercepto con el eje y (cuando x = 0, y = c). Las tres describen la misma parábola — solo que resaltan diferentes características.
Comparando la Forma Factorizada vs. la Forma Estándar
Aquí está la misma parábola dibujada desde ambas perspectivas. Se superponen perfectamente porque son la misma función escrita de dos maneras diferentes.
Las dos curvas se superponen exactamente — la forma factorizada y la forma estándar son simplemente dos lentes para ver la misma cuadrática.
Desafío: ¿Puedes ajustar los controles para que la parábola pase por (-1, 0) y (4, 0) y tenga su vértice en y = -6.25? Pista: piensa en qué valor debe tener a una vez que conoces las raíces.