Cálculo

Volúmenes de Revolución

Ya sabes cómo encontrar el área bajo una curva. Ahora imagina girar esa curva alrededor del eje x, como un alfarero moldeando arcilla en un torno. El resultado es un sólido tridimensional, y el cálculo puede darte su volumen exacto.

1. Del Área al Volumen: El Método de Discos

Cuando rotas la curva y = f(x) alrededor del eje x, cada franja vertical delgada barre un disco — un cilindro plano. El radio del disco en la posición x es f(x), y su grosor es dx.

\text{Volumen de un disco} = \pi [f(x)]^2 \, dx

\text{Volumen total} = \int_a^b \pi [f(x)]^2 \, dx

Piénsalo como apilar infinitas monedas de tamaños diferentes.

2. Rotar y = sqrt(x)

Rotemos la curva y = sqrt(x) desde x = 0 hasta x = b. Cada disco tiene radio sqrt(x), así que su área es pi * x.

b (límite derecho)4

0.56

V = \int_0^{{4}} \pi (\sqrt{x})^2 \, dx = \int_0^{{4}} \pi x \, dx = \frac{\pi \cdot 4^2}{2}

Prueba Esto

Intenta esto: Las curvas azules muestran las mitades superior e inferior de la forma que verías si cortaras el sólido a lo largo del eje x. La curva roja muestra cómo el área de la sección transversal (de cada disco) crece a medida que te mueves a la derecha. El volumen total es el área bajo la curva roja de 0 a b.

3. Radio de la Sección Transversal = f(x)

La clave del método de discos es reconocer que el radio de cada sección transversal es igual al valor de la función. Exploremos esto con una función diferente.

k (controla la forma de la curva)1

0.53

f(x) = 1 \cdot \sin(x), \quad \text{radio} = 1 \sin(x)

V = \int_0^\pi \pi \cdot (1 \sin x)^2 \, dx = \frac{{1}^2 \pi^2}{2}

Conexión

El par de curvas (superior e inferior) muestra el perfil del sólido de revolución. Rotar k*sin(x) de 0 a pi crea una forma parecida a un balón de fútbol americano. Aumentar k hace el balón más ancho, y el volumen escala con k^2 — porque el área del disco depende del cuadrado del radio.

4. Comparando Diferentes Sólidos

Diferentes funciones producen sólidos drásticamente diferentes. Comparemos tres rotaciones en el intervalo [0, 2]:

\text{Rotar } y = x: \quad V = \frac{\pi b^3}{3}

\text{Rotar } y = x^2: \quad V = \frac{\pi b^5}{5}

\text{Rotar } y = \sqrt{x}: \quad V = \frac{\pi b^2}{2}

Cuanto más rápido crece la función, más rápido aumentan las áreas de los discos, y mayor es el volumen.

5. Ajustando los Límites

Los límites de integración controlan qué parte de la curva se rota. Desliza los límites para ver cómo cambia el volumen.

a (límite izquierdo)0

b (límite derecho)3

V = \int_{{0}}^{{3}} \pi x^2 \, dx = \frac{\pi}{3}\left(3^3 - 0^3\right)

Prueba Esto

Intenta esto: Con a = 0 y b = 3, obtienes un cono (volumen = 9pi). Mueve a a 1: ahora tienes un tronco de cono (un cono con la punta cortada). El volumen es pi/3 * (27 - 1) = 26pi/3. El método de discos maneja cualquier límite de forma natural.

Desafío

Desafío: ¿Qué sólido obtienes cuando rotas la línea y = 3 (una línea horizontal) desde x = 0 hasta x = h alrededor del eje x? ¿Cuál es su volumen? Deberías reconocer una forma familiar.

Pista: todos los discos tienen el mismo radio.

La Idea Principal

Para encontrar el volumen de un sólido de revolución, córtalo en discos infinitamente delgados, encuentra el área de cada disco (pi por el radio al cuadrado), e integra.

El método de discos transforma un problema de volumen en 3D en una integral en 1D. El valor de la función f(x) te da el radio, elevarlo al cuadrado te da el área del disco, e integrar suma todos los discos. Es la misma filosofía de cortar y sumar que las sumas de Riemann, pero ahora en tres dimensiones.

Hacer el Examen