Sombreando la Verdad
Ya sabes cómo graficar una línea. Pero, ¿qué pasa si la respuesta no está en la línea — sino en toda una región de la gráfica? Bienvenido al mundo de las desigualdades, donde la línea es solo el borde y la verdadera acción está en el sombreado.
¿Qué Es una Desigualdad?
Una ecuación como y = 2x + 1 te da una línea. Pero una desigualdad como y > 2x + 1 te da todo lo que está arriba de esa línea. No es una sola respuesta — son infinitas respuestas, toda una mitad del plano coordenado.
Piénsalo así: La línea y = 2x + 1 divide el plano en dos mitades. Cada punto arriba de la línea cumple y > 2x + 1, y cada punto abajo cumple y < 2x + 1. La desigualdad te dice qué mitad sombrear.
Parte 1: Desigualdades en la Recta Numérica
Antes de ir al plano coordenado, comencemos con algo simple. En una recta numérica, x > 3 significa todos los números a la derecha del 3. Dibujamos un círculo abierto en 3 (porque el 3 mismo NO está incluido) y sombreamos hacia la derecha.
Si es x >= 3, usamos un círculo relleno porque el 3 SÍ está incluido.
Símbolos clave para recordar:
| Símbolo | Significado | Círculo en la recta numérica |
|---|---|---|
| > | mayor que | abierto |
| < | menor que | abierto |
| >= | mayor o igual que | relleno |
| <= | menor o igual que | relleno |
Parte 2: La Línea Frontera
Ahora pasemos a dos dimensiones. Toda desigualdad lineal tiene una línea frontera — es la línea que obtendrías si reemplazaras la desigualdad por un signo igual.
Desliza los controles para cambiar la pendiente y la ordenada al origen de la línea frontera:
Esta es simplemente una línea normal — la misma de la lección de ecuaciones lineales. La parte de la desigualdad viene después: ¿qué lado sombreamos?
Continua vs. Discontinua: Si la desigualdad es estricta (> o <), la línea frontera es discontinua (punteada) — los puntos SOBRE la línea no están incluidos. Si es >= o <=, la línea es continua (sólida) — esos puntos sí cuentan.
Parte 3: Sombrear Arriba y Abajo
Aquí está la regla principal:
- y > mx + b o y >= mx + b — sombrea arriba de la línea
- y < mx + b o y <= mx + b — sombrea abajo de la línea
Veámoslo en acción. La línea frontera separa dos regiones. Observa cómo cambiar la pendiente y la ordenada al origen mueve toda la frontera:
La línea desvanecida de arriba representa la región sombreada. Cada punto en esa región tiene un valor de y mayor que la línea frontera. Cualquier punto que elijas arriba de esa frontera cumplirá la desigualdad.
Parte 4: Probando un Punto
¿No estás seguro de qué lado sombrear? Hay un truco infalible: elige un punto de prueba y sustitúyelo. El punto de prueba más fácil suele ser (0, 0) — el origen.
Por ejemplo, ¿cumple (0, 0) con y > 2x + 1?
Sustituye: 0 > 2(0) + 1 se convierte en 0 > 1. Eso es falso, así que (0, 0) NO está en la región solución. Sombrea el otro lado.
Desafío: Para cada desigualdad, decide si (0, 0) está en la región sombreada:
- y > x - 3
- y < -2x + 1
- y >= 4x
Pista: ¡Solo sustituye x = 0 e y = 0 cada vez!
Parte 5: Comparando Dos Líneas Frontera
¿Qué pasa si tienes dos desigualdades a la vez? Ahora buscas puntos que cumplan AMBAS condiciones — la región donde los dos sombreados se superponen.
Las dos líneas dividen el plano en regiones. Cuando tienes un sistema de desigualdades, la solución es la región que cumple TODAS las condiciones a la vez.
Parte 6: Desigualdades Compuestas
Una desigualdad compuesta combina dos condiciones. Por ejemplo:
-3 < y < 3 significa que y está entre -3 y 3.
En una gráfica, esto se ve como una banda horizontal:
Todo lo que está entre las dos líneas es la región solución. Los puntos sobre las líneas mismas dependen de si la desigualdad es estricta o incluye el igual.
Ahora hagamos una desigualdad compuesta más interesante con fronteras inclinadas:
La solución es la banda entre las dos líneas paralelas. Desliza el “Band width” para ver cómo la región crece y se reduce.
Observa: Cuando dos líneas frontera tienen la misma pendiente, son paralelas y la región entre ellas forma una banda. Cuanto mayor sea la separación entre sus ordenadas al origen, más ancha será la banda de soluciones.
Resumen
Esto es lo que has aprendido sobre desigualdades:
| Concepto | Idea Clave |
|---|---|
| Línea frontera | Reemplaza la desigualdad con = para obtener la línea |
| Línea continua | Se usa para >= o <= (los puntos sobre la línea SÍ están incluidos) |
| Línea discontinua | Se usa para > o < (los puntos sobre la línea NO están incluidos) |
| Sombrear arriba | Para y > o y >= |
| Sombrear abajo | Para y < o y <= |
| Punto de prueba | Sustituye (0, 0) para verificar qué lado sombrear |
| Compuesta | Dos desigualdades a la vez — sombrea la intersección |
Desafío Final: Usando los controles de la Parte 5 arriba, ajusta las pendientes para que las dos líneas formen una “X”. ¿Cuántas regiones se crean? Si sombreas arriba de la Línea 1 y abajo de la Línea 2, ¿cuál región es la solución?
Las desigualdades no son más difíciles que las ecuaciones — solo son más grandes. En lugar de una respuesta, obtienes toda una región de respuestas. ¿Y esa línea frontera? Es simplemente la cerca entre el “sí” y el “no.”