Álgebra 1

Factorización: Ingeniería Inversa

Ya aprendiste a expandir expresiones — convertir (x + 2)(x + 3) en x^2 + 5x + 6. Factorizar es lo contrario: empezar con x^2 + 5x + 6 y descomponerlo de nuevo en (x + 2)(x + 3). Pero, ¿por qué querrías hacer eso?

Porque la forma factorizada revela las raíces.

La Gran Idea

Cuando una cuadrática se escribe en forma factorizada:

y=(x−r1)(x−r2)y = (x - r_1)(x - r_2)

Puedes leer de inmediato dónde la parábola cruza el eje x. Esos puntos de cruce son las raíces (también llamadas ceros): x = r1 y x = r2.

¿Por qué? Porque si x = r1, entonces el primer factor se convierte en (r1 - r1) = 0, y cualquier cosa multiplicada por cero es cero. Así que y = 0. La misma lógica aplica para x = r2.

Parte 1: Forma Factorizada — Ve las Raíces Directamente

Comencemos con la forma factorizada y veamos cómo las raíces controlan la parábola:

Raíz r1-2
-55
Raíz r23
-55
y=(x−−2)(x−3)y = (x - -2)(x - 3)
-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810x = -2x = 3
Prueba Esto

Mueve los controles y observa:

  • La parábola siempre cruza el eje x exactamente en r1 y r2
  • Separa más las raíces y la parábola se hace más ancha
  • Acércalas y se hace más estrecha
  • ¿Qué pasa cuando r1 = r2? La parábola solo toca el eje x en un punto — ¡una raíz doble!

Parte 2: De la Forma Factorizada a la Forma Estándar

Cuando expandes (x - r1)(x - r2), obtienes la forma estándar. Veamos la expansión en vivo:

Raíz r1-2
-55
Raíz r23
-55

La forma factorizada:

y=(x−−2)(x−3)y = (x - -2)(x - 3)

Se expande a la forma estándar (usando FOIL):

y=x2−(−2+3)x+(−2)(3)y = x^2 - (-2 + 3)x + (-2)(3)
Conexión

El patrón siempre es el mismo:

  • El coeficiente de x es igual a -(r1 + r2) — la suma negativa de las raíces
  • El término constante es igual a r1 por r2 — el producto de las raíces

¡Por eso funciona la factorización! Si puedes encontrar dos números que SUMEN el coeficiente del medio y se MULTIPLIQUEN para dar la constante, esas son tus raíces.

Verifiquemos que ambas formas producen la misma gráfica:

-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810x = -2x = 3(0.47, -6.25)

Parte 3: La Conexión entre Raíces y Vértice

El vértice (el punto más bajo o más alto de la parábola) siempre se encuentra exactamente a mitad de camino entre las dos raíces:

coordenada x del veˊrtice=r1+r22\text{coordenada x del vértice} = \frac{r_1 + r_2}{2}
Raíz r1-3
-55
Raíz r21
-55
-12-10-8-6-4-224681012-10-8-6-4-2246x = -3x = 1(-1.02, -4)
Prueba Esto

Pon r1 = -3 y r2 = 1. Las raíces están en x = -3 y x = 1. El punto medio es x = (-3 + 1)/2 = -1. Mira el vértice — ¡está justo ahí en x = -1!

Esto siempre funciona porque las parábolas son simétricas. El eje de simetría pasa por el vértice y divide las dos raíces equitativamente.

Parte 4: Agregar un Coeficiente Principal

¿Y si hay un número adelante? y = a(x - r1)(x - r2) sigue teniendo las mismas raíces, pero la a controla qué tan empinada es y en qué dirección va:

a (estiramiento)1
-33
Raíz r1-2
-44
Raíz r22
-44
y=1(x−−2)(x−2)y = 1(x - -2)(x - 2)
-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810x = -2x = 2(0, -4)
Prueba Esto

Experimenta con a:

  • a > 0: La parábola abre hacia arriba (forma de U)
  • a < 0: La parábola abre hacia abajo (U invertida)
  • |a| > 1: Más estrecha y empinada
  • |a| < 1: Más ancha y aplanada
  • ¡Las raíces NO cambian! El valor de a estira la curva pero mantiene los mismos cruces con el eje x.

Parte 5: El Proceso de Factorización

Hasta ahora hemos ido de la forma factorizada a la gráfica. En la práctica, a menudo vas en la dirección contraria: empezando con la forma estándar e intentando factorizar.

Para x^2 + bx + c, necesitas dos números r1 y r2 tales que:

Ejemplo: Factoriza x^2 - 5x + 6.

Necesitas dos números que se multipliquen para dar 6 y sumen 5. Esos son 2 y 3. Como el término del medio es -5x, las raíces son positivas: (x - 2)(x - 3).

Verifiquemos:

-6-5-4-3-2-112345678910-2-112345678x = 3

Las raíces están en x = 2 y x = 3. ¡Factorización confirmada!

Desafío

Practica factorizando estos:

  1. x^2 + 5x + 6 (encuentra dos números que sumen 5 y se multipliquen para dar 6)
  2. x^2 - x - 12 (suman -1, se multiplican para dar -12)
  3. x^2 - 9 (este es un caso especial — ¡diferencia de cuadrados!)

Respuestas: (x + 2)(x + 3), (x - 4)(x + 3), (x - 3)(x + 3)

Parte 6: Patrones Especiales de Factorización

Algunas cuadráticas se factorizan en patrones reconocibles:

Diferencia de cuadrados:

x2−a2=(x−a)(x+a)x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)
a (en x^2 - a^2)3
15
-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810x = -3x = 3

Las raíces siempre son simétricas: una en +a y otra en -a. El vértice siempre está en el valor x del origen (x = 0).

Trinomio cuadrado perfecto:

x2−2ax+a2=(x−a)2x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2

Este es el caso de raíz doble — la parábola solo toca el eje x en un punto.

Resumen

ConceptoPunto Clave
Forma factorizaday = (x - r1)(x - r2) muestra las raíces directamente
RaícesDonde la gráfica cruza el eje x (y = 0)
Suma de raícesIgual a -b/a (negativo del coeficiente medio sobre el principal)
Producto de raícesIgual a c/a (constante sobre coeficiente principal)
VérticeA mitad de camino entre las dos raíces
Coeficiente principal (a)Controla la inclinación y dirección, no las raíces
Desafío

Desafío Final: Una parábola tiene su vértice en (1, -4) y pasa por (3, 0). Encuentra la otra raíz, escribe la forma factorizada y expándela a la forma estándar.

Pista: Si el vértice está en x = 1 y una raíz está en x = 3, la otra raíz está a la misma distancia del otro lado del vértice. Así que está en x = -1. Forma factorizada: y = (x - 3)(x + 1) = x^2 - 2x - 3.

Factorizar es como hacer ingeniería inversa. Cuando ves un polinomio y puedes descomponerlo en factores, has descifrado su código — sabes exactamente dónde llega a cero, dónde está su vértice y cómo se ve su gráfica. Eso es un superpoder.

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