Semejanza y Dilataciones
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Una dilatación es la transformación que produce figuras semejantes — escala todo por un factor constante mientras conserva todos los ángulos.
Escalando una Función
La forma más sencilla de ver una dilatación en acción es escalar una función. Abajo, la parábola original y = x² se muestra junto a una versión dilatada escalada por el factor k.
Prueba esto: Pon k = 1 y las curvas se superponen perfectamente. Aumenta k y la curva roja se vuelve más estrecha y alta. Disminuye k y se vuelve más ancha y baja. El carácter de la forma se conserva — sigue siendo una parábola — pero el tamaño cambia.
Triángulos Semejantes en una Gráfica
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales (semejanza AA). Podemos mostrarlo con líneas: el triángulo original se forma con líneas que pasan por el origen, y el triángulo dilatado se escala por el factor k.
Ambas líneas pasan por el origen, pero la línea dilatada tiene una pendiente menor (2/k). El triángulo formado al cortarlas con una línea vertical será semejante al original — mismos ángulos, lados proporcionales.
Las Razones Se Mantienen Constantes
La propiedad que define a las figuras semejantes: las razones entre lados correspondientes son iguales. Si escalas un triángulo por un factor k, cada lado se multiplica por k, pero las razones entre los lados permanecen iguales.
Sin importar qué factor de escala elijas, la razón a/b es igual a la razón a’/b’. Eso es la semejanza en pocas palabras.
Conexión con el mundo real: Los mapas usan la semejanza. Un mapa es una dilatación del mundo real con un factor de escala muy pequeño (como 1:50,000). Todos los ángulos se conservan, todas las razones de distancia se conservan — por eso los mapas sirven para navegar.
Semejanza AA, LAL y LLL
No necesitas verificar cada lado y cada ángulo. Existen atajos:
- AA (Ángulo-Ángulo): Si dos ángulos coinciden, los triángulos son semejantes (el tercer ángulo queda determinado por la regla de los 180°).
- LAL (Lado-Ángulo-Lado): Si dos lados son proporcionales y el ángulo comprendido es igual, los triángulos son semejantes.
- LLL (Lado-Lado-Lado): Si los tres pares de lados son proporcionales, los triángulos son semejantes.
Desafío: El triángulo ABC tiene lados 5, 12, 13. El triángulo DEF tiene lados 10, 24, 26. ¿Son estos triángulos semejantes? ¿Cuál es el factor de escala? (Pista: verifica si todas las razones son iguales.)