Cálculo

El Área Bajo la Curva

Las derivadas miden tasas de cambio. La integración hace lo opuesto: suma cosas. La forma más visual de pensar en una integral es como el área entre una curva y el eje x.

Pero, ¿cómo encuentras el área bajo una curva cuando el borde no es una línea recta? La respuesta: aproximar con rectángulos y luego tomar el límite.

1. Sumas de Riemann: Rectángulos Bajo una Curva

Escoge una función, divide el intervalo en n partes iguales y coloca un rectángulo en cada parte. El área total de los rectángulos aproxima el área bajo la curva.

Empecemos con f(x) = x^2 en el intervalo [0, b].

n (número de rectángulos)4
150
b (extremo derecho)3
15
∫03x2 dx≈∑i=14f(xi)⋅Δx,Δx=34\int_0^{{3}} x^2 \, dx \approx \sum_{{i=1}}^{{4}} f(x_i) \cdot \Delta x, \quad \Delta x = \frac{{3}}{{4}}

A medida que aumentas n, los rectángulos se hacen más delgados y llenan la curva con mayor precisión. Cuantos más rectángulos, mejor la aproximación.

5510152025f(x) = x²suma de Riemann (izq.)x = b
Prueba Esto

Prueba esto: Empieza con n = 1 (un solo rectángulo grande, una aproximación terrible). Luego aumenta n lentamente a 10, 20, 50. Observa cómo los rectángulos se hacen más delgados y llenan la curva con mayor precisión. El área exacta bajo x^2 de 0 a 3 es 9. Fíjate qué tan cerca llega la suma a medida que n aumenta.

2. Izquierda, Derecha y Punto Medio

El punto donde evalúas la función en cada subintervalo importa:

Para una función creciente, las sumas por la izquierda subestiman y las sumas por la derecha sobreestiman. La regla del punto medio tiende a ser la más precisa.

n (rectángulos)5
230
Aproximando ∫03x2 dx=9 con n=5 rectaˊngulos\text{Aproximando } \int_0^3 x^2 \, dx = 9 \text{ con } n = 5 \text{ rectángulos}
-10-8-6-4-224681012-224681012f(x) = x²suma izq. (escalón)
Conexión

Cuando n tiende a infinito, los tres métodos — izquierda, derecha y punto medio — convergen al mismo número. Ese número es la integral definida. Las diferencias entre los métodos se reducen a cero porque los rectángulos se vuelven infinitamente delgados.

3. La Respuesta Exacta: La Integral Definida

La integral definida es el límite de la suma de Riemann cuando n tiende a infinito:

∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi∗)⋅Δx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \cdot \Delta x

Para x^2, podemos calcular esto exactamente usando la antiderivada:

∫0bx2 dx=[x33]0b=b33\int_0^b x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^b = \frac{b^3}{3}
b (límite superior)3
0.55
∫03x2 dx=333\int_0^{{3}} x^2 \, dx = \frac{{3}^3}{3}
551015202530f(x) = x²F(x) = x³/3 (antiderivada)x = bF(b) = área
Prueba Esto

Prueba esto: Pon b = 3. La antiderivada da 3^3/3 = 9. Pon b = 1 y obtienes 1/3. Pon b = 2 y obtienes 8/3. La función antiderivada (curva amarilla) te dice el área acumulada en cada punto — su altura en x = b es exactamente el área de 0 a b.

4. Diferentes Funciones, Misma Idea

El enfoque de la suma de Riemann funciona para cualquier función. Probemos con algunas:

Onda sinusoidal

12345678910-2-1123sin(x)integral: 1 - cos(x)

El área bajo sin(x) de 0 a pi es exactamente 2. De 0 a 2*pi, es 0 — porque la parte negativa (debajo del eje x) cancela la parte positiva.

Raíz cuadrada

-2-112345678-1123456sqrt(x)integral: (2/3)x^(3/2)
Desafío

Desafío: La integral de x^n es x^(n+1)/(n+1). Usa esto para encontrar el área bajo f(x) = x^3 de x = 0 a x = 2. Luego verifica: la suma de Riemann con 100 rectángulos debería estar cerca de tu respuesta.

La Gran Idea

La integración calcula la acumulación total de una cantidad dividiéndola en pedazos diminutos y sumándolos. La integral definida es el límite de este proceso.

Lo que empezó como un problema de geometría (encontrar un área) resulta ser una de las dos operaciones fundamentales del cálculo. Como verás en la próxima lección, la integración y la diferenciación son secretamente la misma operación en sentido inverso — y esa conexión lo cambia todo.

Hacer el Examen