कलन (Calculus)

वक्र के नीचे का क्षेत्रफल

अवकलज (derivative) परिवर्तन की दर मापता है। समाकलन (integration) इसका उल्टा करता है: यह चीज़ों को जोड़ता है। समाकल के बारे में सोचने का सबसे आसान तरीका है — यह एक वक्र और x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल है।

लेकिन जब सीमा एक सीधी रेखा न हो तो वक्र के नीचे का क्षेत्रफल कैसे निकालें? उत्तर: आयतों से अनुमान लगाओ और फिर सीमा (limit) लो।

1. रीमान योग: वक्र के नीचे आयत

एक फलन चुनें, अंतराल को n बराबर भागों में बाँटें, और हर भाग पर एक आयत खड़ा करें। आयतों का कुल क्षेत्रफल वक्र के नीचे के क्षेत्रफल का अनुमान देता है।

चलिए f(x) = x^2 से शुरू करते हैं, अंतराल [0, b] पर।

n (आयतों की संख्या)4
150
b (दायाँ सिरा)3
15
∫03x2 dx≈∑i=14f(xi)⋅Δx,Δx=34\int_0^{{3}} x^2 \, dx \approx \sum_{{i=1}}^{{4}} f(x_i) \cdot \Delta x, \quad \Delta x = \frac{{3}}{{4}}

जैसे-जैसे आप n बढ़ाते हैं, आयत पतले होते जाते हैं और वक्र को ज़्यादा सटीक भरते हैं। जितने ज़्यादा आयत, उतना बेहतर अनुमान।

5510152025f(x) = x²रीमान योग (बायाँ)x = b
यह आज़माएं

यह आज़माएं: n = 1 से शुरू करें (एक बड़ा आयत — बहुत खराब अनुमान)। फिर धीरे-धीरे n को 10, 20, 50 तक बढ़ाएं। देखें कैसे आयत पतले होते जाते हैं और वक्र को ज़्यादा सटीक भरते हैं। x^2 का 0 से 3 तक का सही क्षेत्रफल 9 है। देखें n बढ़ने पर योग कितना करीब पहुँचता है।

2. बायाँ, दायाँ, और मध्य बिंदु

हर उप-अंतराल पर फलन को कहाँ से नापते हैं, इससे फ़र्क पड़ता है:

बढ़ते फलन के लिए, बायाँ योग कम अनुमान देता है और दायाँ योग ज़्यादा। मध्य बिंदु नियम सबसे सटीक होता है।

n (आयत)5
230
Approximating ∫03x2 dx=9 with n=5 rectangles\text{Approximating } \int_0^3 x^2 \, dx = 9 \text{ with } n = 5 \text{ rectangles}
-10-8-6-4-224681012-224681012f(x) = x²बायाँ योग (चरण)
जोड़

जब n अनंत की ओर जाता है, तो तीनों विधियाँ — बायाँ, दायाँ, और मध्य बिंदु — एक ही संख्या पर पहुँचती हैं। वह संख्या निश्चित समाकल (definite integral) है। विधियों के बीच का अंतर शून्य हो जाता है क्योंकि आयत अनंत रूप से पतले हो जाते हैं।

3. सटीक उत्तर: निश्चित समाकल (Definite Integral)

निश्चित समाकल, रीमान योग की सीमा है जब n अनंत की ओर जाता है:

∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi∗)⋅Δx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \cdot \Delta x

x^2 के लिए, हम प्रतिअवकलज (antiderivative) का उपयोग करके इसे सटीक रूप से निकाल सकते हैं:

∫0bx2 dx=[x33]0b=b33\int_0^b x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^b = \frac{b^3}{3}
b (ऊपरी सीमा)3
0.55
∫03x2 dx=333\int_0^{{3}} x^2 \, dx = \frac{{3}^3}{3}
551015202530f(x) = x²F(x) = x³/3 (प्रतिअवकलज)x = bF(b) = क्षेत्रफल
यह आज़माएं

यह आज़माएं: b = 3 रखें। प्रतिअवकलज देता है 3^3/3 = 9। b = 1 रखें तो 1/3 मिलता है। b = 2 रखें तो 8/3 मिलता है। प्रतिअवकलज फलन (पीला वक्र) आपको हर बिंदु पर संचित क्षेत्रफल बताता है — x = b पर इसकी ऊँचाई ठीक 0 से b तक का क्षेत्रफल है।

4. अलग-अलग फलन, एक ही विचार

रीमान योग विधि किसी भी फलन के लिए काम करती है। चलिए कुछ और आज़माते हैं:

साइन तरंग (Sine wave)

12345678910-2-1123sin(x)समाकल: 1 - cos(x)

sin(x) का 0 से pi तक का क्षेत्रफल ठीक 2 है। 0 से 2*pi तक यह 0 है — क्योंकि ऋणात्मक भाग (x-अक्ष के नीचे) धनात्मक भाग को रद्द कर देता है।

वर्गमूल (Square root)

-2-112345678-1123456sqrt(x)समाकल: (2/3)x^(3/2)
चुनौती

चुनौती: x^n का समाकल x^(n+1)/(n+1) होता है। इसका उपयोग करके f(x) = x^3 का x = 0 से x = 2 तक का क्षेत्रफल निकालें। फिर जाँचें: 100 आयतों वाला रीमान योग आपके उत्तर के करीब होना चाहिए।

मुख्य विचार

समाकलन किसी मात्रा के कुल संचय की गणना करता है, उसे छोटे-छोटे टुकड़ों में काटकर और जोड़कर। निश्चित समाकल इस प्रक्रिया की सीमा है।

जो एक ज्यामिति की समस्या (क्षेत्रफल निकालना) के रूप में शुरू हुई, वह कलन (calculus) की दो मूलभूत संक्रियाओं में से एक निकली। जैसा कि आप अगले पाठ में देखेंगे, समाकलन और अवकलन वास्तव में एक ही संक्रिया हैं जो उल्टी दिशा में चलती हैं — और यह संबंध सब कुछ बदल देता है।

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