समिश्र संख्याएं और तल

सदियों तक गणितज्ञ समीकरण x^2 = -1 से परेशान रहे। कोई भी वास्तविक संख्या इसे संतुष्ट नहीं करती। इसका हल था एक नई संख्या का आविष्कार: काल्पनिक इकाई i, जिसे इस तरह परिभाषित किया गया कि i^2 = -1। समिश्र संख्याएं सिर्फ गणितीय जिज्ञासा नहीं हैं — ये बिजली, क्वांटम भौतिकी, सिग्नल प्रोसेसिंग और फ्रैक्टल ज्यामिति के लिए अनिवार्य हैं।

समिश्र तल (Complex Plane)

हर समिश्र संख्या z = a + bi को एक तल पर बिंदु के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां:

• क्षैतिज अक्ष (वास्तविक अक्ष) वास्तविक भाग a को दर्शाता है।
• ऊर्ध्वाधर अक्ष (काल्पनिक अक्ष) काल्पनिक भाग b को दर्शाता है।

इसे समिश्र तल (जिसे आर्गंड आरेख भी कहते हैं) कहते हैं।

हम समिश्र संख्या को एक बिंदु और मूल बिंदु से उसकी दूरी के रूप में देख सकते हैं:

बैंगनी रेखा मूल बिंदु से z = (a, b) तक जाती है। लाल क्षैतिज रेखा काल्पनिक भाग दिखाती है। समिश्र संख्या इनके प्रतिच्छेदन पर होती है।

परिमाण (मापांक) — Magnitude

समिश्र संख्या z = a + bi का परिमाण (या मापांक) मूल बिंदु से उसकी दूरी है:

|z| = sqrt(a^2 + b^2)

यह समिश्र तल पर पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग है।

समान परिमाण वाली सभी समिश्र संख्याएं मूल बिंदु के चारों ओर एक वृत्त पर होती हैं:

पीला वृत्त z के समान परिमाण वाली सभी समिश्र संख्याओं को दिखाता है। बिंदु z इस वृत्त पर है। जब a = 3 और b = 4 हो, तो |z| = 5 — यह प्रसिद्ध 3-4-5 समकोण त्रिभुज है।

योग: समांतर चतुर्भुज नियम

समिश्र संख्याओं का योग घटक-वार होता है, ठीक सदिश योग की तरह:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

हरी रेखा योग z1 + z2 दिखाती है। सदिश योग की तरह, परिणाम समांतर चतुर्भुज नियम का पालन करता है: दोनों तीरों को सिरे से सिरा जोड़ें, और समांतर चतुर्भुज का विकर्ण योग होगा।

गुणन: घूर्णन + स्केलिंग

यहीं समिश्र संख्याएं जादुई बन जाती हैं। जब आप दो समिश्र संख्याओं का गुणन करते हैं, तो आप उनके परिमाणों का गुणन और कोणों का योग करते हैं:

|z1 * z2| = |z1| * |z2| arg(z1 * z2) = arg(z1) + arg(z2)

किसी समिश्र संख्या से गुणन एक ही संक्रिया में घूर्णन और स्केलिंग दोनों है।

जब हम इकाई वृत्त पर किसी बिंदु w को z से गुणा करते हैं, तो वह बिंदु arg(z) से घूमता है और |z| से स्केल होता है। आइए इकाई वृत्त और z से गुणन के बाद उसकी छवि देखें:

धूसर वृत्त इकाई वृत्त है। बैंगनी वृत्त की त्रिज्या |z| है। पीली रेखा w = 1 (इकाई वृत्त पर) चिह्नित करती है। लाल रेखा z·w — वही बिंदु arg(z) से घुमाकर और |z| तक मापित। कोण स्लाइडर खींचकर लाल चिह्न को बैंगनी वृत्त पर घूमते देखें।

ऑयलर का सूत्र: गणित का सबसे सुंदर समीकरण

गणित का सबसे सुंदर समीकरण घातांकीय, त्रिकोणमितीय फलनों और समिश्र संख्याओं को जोड़ता है:

e^(itheta) = cos(theta) + isin(theta)

इसका मतलब है कि इकाई वृत्त पर हर बिंदु को e^(i*theta) के रूप में लिखा जा सकता है। और theta = pi पर प्रसिद्ध विशेष स्थिति देती है:

e^(i*pi) + 1 = 0

— जो e, i, pi, 1, और 0 को एक ही समीकरण में जोड़ती है।

हरा-नीला वृत्त इकाई वृत्त है। लाल रेखा sin(theta) दिखाती है (e^(itheta) का काल्पनिक भाग) और नीली रेखा cos(theta) दिखाती है (वास्तविक भाग)। जैसे-जैसे theta 0 से 2pi तक जाता है, बिंदु e^(i*theta) पूरे इकाई वृत्त का चक्कर लगाता है।

i की घातें

चूंकि i 90-डिग्री के घूर्णन को दर्शाता है, बार-बार गुणन चार मानों में चक्रित होता है:

हर चौथी घात 1 पर लौटती है। यह चक्र — 1, i, -1, -i, 1, i, -1, -i, … — समिश्र अंकगणित की धड़कन है।

बैंगनी वक्र वास्तविक भाग दिखाता है जो 1, 0, -1, 0, 1, … से चक्रित होता है। लाल वक्र काल्पनिक भाग दिखाता है जो 0, 1, 0, -1, 0, … से चक्रित होता है। ये बस चौथाई मोड़ पर लिए गए cosine और sine के मान हैं।