सांख्यिकी

सशर्त प्रायिकता और स्वतंत्रता

कभी-कभी यह जानना कि एक घटना हो चुकी है, दूसरी घटना की प्रायिकता बदल देता है। अगर बादल हैं, तो बारिश की संभावना ज़्यादा है। अगर आपने ताश के पत्तों से एक इक्का निकाला, तो दूसरा इक्का निकलने की संभावना बदल जाती है। यह विचार — कि एक घटना दूसरी को कैसे प्रभावित करती है — सशर्त प्रायिकता (conditional probability) कहलाता है।

भाग 1: सशर्त प्रायिकता क्या है?

घटना A के होने की प्रायिकता यह देखते हुए कि B पहले ही हो चुकी है, इस तरह लिखी जाती है:

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

इसे इस तरह समझें: एक बार जब हम जानते हैं कि B हुआ है, तो हमारा पूरा ब्रह्मांड सिकुड़कर सिर्फ उन परिणामों तक रह जाता है जहां B सत्य है। फिर हम पूछते हैं: उन परिणामों में से कितनों में A भी है?

आइए इसे दो अतिव्यापी (overlapping) बेल वक्रों से समझें जो घटना A और B को दर्शाते हैं। अतिव्यापन क्षेत्र वे परिणाम दर्शाता है जहां दोनों होते हैं:

P(A) — A का विस्तार0.5
0.10.9
P(B) — B का विस्तार0.5
0.10.9
P(A और B) — अतिव्यापन0.2
0.050.5
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=0.20.5P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.2}{0.5}
-8-6-4-22468घटना Aघटना BA और B (अतिव्यापन)
यह आज़माएं

स्लाइडर्स से प्रयोग करें:

  • जब अतिव्यापन P(B) की तुलना में बड़ा हो, P(A|B) ऊंचा होता है — B का होना A को बहुत संभावित बना देता है
  • जब अतिव्यापन P(B) की तुलना में छोटा हो, P(A|B) कम होता है — B होने से A को ज़्यादा मदद नहीं मिलती
  • अतिव्यापन को P(A) और P(B) में से छोटे से कम या बराबर रखें ताकि मान मान्य रहे!

भाग 2: सिकुड़ते ब्रह्मांड की कल्पना

इसे एक और तरीके से समझें। पूरा वितरण सभी संभव परिणामों को दर्शाता है। जब हम B पर शर्त लगाते हैं, तो हम सिर्फ B क्षेत्र पर ज़ूम इन करते हैं:

B क्षेत्र में ज़ूम करें1
0.53
-8-6-4-22468सभी परिणामP(B) क्षेत्रB के अंदर A

जैसे-जैसे आप ज़ूम बढ़ाते हैं, आप B क्षेत्र पर अधिक ध्यान केंद्रित करते हैं। हरे क्षेत्रफल (B के भीतर A) का लाल क्षेत्रफल (पूरा B) से अनुपात P(A|B) देता है।

भाग 3: स्वतंत्रता — जब जानने से कोई फ़र्क न पड़े

दो घटनाएं स्वतंत्र (independent) हैं अगर एक के होने का पता लगने पर दूसरी के बारे में कुछ भी नई जानकारी न मिले। गणितीय रूप में:

A and B are independent  ⟺  P(A∣B)=P(A)\text{A and B are independent} \iff P(A \mid B) = P(A)

ऐसा तभी होता है जब:

P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

आइए इसे जांचें। P(A), P(B), और अतिव्यापन सेट करें। जब अतिव्यापन गुणनफल P(A) * P(B) के बराबर हो, तो घटनाएं स्वतंत्र हैं:

P(A)0.4
0.10.8
P(B)0.5
0.10.8
P(A and B)0.2
0.010.6
P(A)×P(B)=0.4×0.5P(A) \times P(B) = 0.4 \times 0.5
P(A∩B)=0.2P(A \cap B) = 0.2
P(A∣B)=0.20.5,P(A)=0.4P(A \mid B) = \frac{0.2}{0.5}, \quad P(A) = 0.4
-8-6-4-22468घटना Aघटना BA और B
यह आज़माएं

घटनाओं को स्वतंत्र बनाने की कोशिश करें! P(A and B) को तब तक समायोजित करें जब तक वह P(A) * P(B) के बराबर न हो जाए। जब आप सफल हों, तो ध्यान दें कि P(A|B) बराबर P(A) हो जाता है — B पर शर्त लगाने से A की प्रायिकता बिल्कुल नहीं बदलती।

उदाहरण: अगर P(A) = 0.4 और P(B) = 0.5, तो स्वतंत्रता के लिए P(A and B) = 0.2 होना चाहिए।

भाग 4: आश्रित घटनाएं — जब शर्त मायने रखती है

जब घटनाएं आश्रित (dependent) होती हैं, तो P(A|B) P(A) से अलग होता है। अंतर जितना बड़ा, निर्भरता उतनी मज़बूत।

B के सापेक्ष A का विस्थापन0
-33
अतिव्यापन चौड़ाई1.5
0.53
-8-6-4-22468घटना Aघटना Bसंयुक्त क्षेत्र
जोड़

वास्तविक जीवन के उदाहरण:

  • आश्रित: बिना वापस रखे पत्ते निकालना — पहला पत्ता बदल देता है कि क्या बचा है
  • स्वतंत्र: सिक्का दो बार उछालना — पहला उछाल दूसरे को प्रभावित नहीं करता
  • आश्रित: आज और कल का मौसम — आज धूप है तो कल भी धूप की संभावना अधिक है
  • स्वतंत्र: आपका जन्मदिन और आपका पसंदीदा रंग — कोई संबंध नहीं

भाग 5: बेज़ प्रमेय (Bayes’ Theorem) — शर्त को उलटना

क्या हो अगर आप P(B|A) जानते हैं लेकिन P(A|B) चाहिए? बेज़ प्रमेय आपको शर्त पलटने देता है:

P(A∣B)=P(B∣A)⋅P(A)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}
P(A) — पूर्व0.1
0.010.5
P(B|A) — संभाव्यता0.8
0.11
P(B) — साक्ष्य0.3
0.10.8
P(A∣B)=0.8×0.10.3P(A \mid B) = \frac{0.8 \times 0.1}{0.3}
-8-6-4-22468पूर्व P(A)पश्च P(A|B)साक्ष्य P(B)
चुनौती

चिकित्सा परीक्षण समस्या: एक बीमारी 1% जनसंख्या को प्रभावित करती है (P(बीमारी) = 0.01)। एक परीक्षण 95% समय बीमारी को सही पहचानता है (P(पॉज़िटिव | बीमारी) = 0.95)। परीक्षण की गलत पॉज़िटिव दर 5% है, इसलिए P(पॉज़िटिव) लगभग 0.059 है।

बेज़ प्रमेय का उपयोग करें: अगर आपका परीक्षण पॉज़िटिव आता है, तो वास्तव में बीमारी होने की प्रायिकता क्या है?

स्लाइडर्स सेट करें: prior = 0.01, likelihood = 0.95, evidence = 0.059। उत्तर आपको चौंका सकता है!

सारांश

अवधारणामुख्य सूत्र
सशर्त प्रायिकताP(A|B) = P(A and B) / P(B)
स्वतंत्रताP(A and B) = P(A) * P(B)
स्वतंत्रता परीक्षणP(A|B) = P(A) का मतलब स्वतंत्र
बेज़ प्रमेयP(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

सशर्त प्रायिकता सांख्यिकीय तर्क की नींव है। हर बार जब आप नए साक्ष्य के आधार पर अपनी धारणाओं को अपडेट करते हैं, तो आप बेज़ प्रमेय का उपयोग कर रहे होते हैं — चाहे आपको इसका एहसास हो या न हो।

परीक्षा दें