बीजगणित 2

आव्यूह: संख्याओं की ग्रिड (Matrices)

आव्यूह (matrix) बस संख्याओं की एक आयताकार ग्रिड है। लेकिन ये ग्रिड कमाल की चीज़ें कर सकती हैं — ये आकृतियों को घुमा सकती हैं, खींच सकती हैं, पलट सकती हैं, और समीकरणों के निकाय (systems of equations) को भी दर्शा सकती हैं। आइए सरल से शुरू करके आगे बढ़ते हैं।

भाग 1: आव्यूह क्या है?

आव्यूह को कोष्ठकों के अंदर लिखा जाता है। यहां एक 2x2 आव्यूह है (2 पंक्तियां, 2 स्तंभ):

[abcd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

ग्रिड में हर संख्या को एक प्रविष्टि (entry) कहते हैं। 2x2 आव्यूह की प्रविष्टियां तल (plane) पर बिंदुओं को रूपांतरित कर सकती हैं — यहीं से चीज़ें दिलचस्प हो जाती हैं।

भाग 2: आव्यूह रूपांतरण (Matrix Transformations)

एक 2x2 आव्यूह बिंदु (x, y) को नए बिंदु (x’, y’) में इस नियम से बदल सकता है:

[x′y′]=[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix}

आइए इसे काम करते देखें। 2x2 आव्यूह की चार प्रविष्टियां सेट करने के लिए स्लाइडर उपयोग करें, और हम देखेंगे कि यह बिंदु (1, 0) और (0, 1) को कैसे बदलता है:

a (ऊपर-बायाँ)1
-33
b (ऊपर-दायाँ)0
-33
c (नीचे-बायाँ)0
-33
d (नीचे-दायाँ)1
-33
[1001]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

आव्यूह आधार सदिशों (basis vectors) को नई स्थिति में ले जाता है। आइए देखें कि इस रूपांतरण से रेखा y = x का क्या होता है। आव्यूह हर बिंदु (t, t) को नई जगह ले जाता है:

-8-7-6-5-4-3-2-112345678-5-4-3-2-112345मूल y = xरूपांतरित
यह आज़माएं

ये प्रसिद्ध रूपांतरण आज़माएं:

  • तत्समक (Identity): a=1, b=0, c=0, d=1 — कुछ नहीं बदलता!
  • 2 गुना स्केल: a=2, b=0, c=0, d=2 — सब कुछ दोगुना
  • x-अक्ष पर परावर्तन: a=1, b=0, c=0, d=-1
  • 90 डिग्री घुमाव: a=0, b=-1, c=1, d=0
  • कतरनी (Shear): a=1, b=1, c=0, d=1 — सब कुछ तिरछा

भाग 3: स्केलिंग

जब आव्यूह विकर्ण (diagonal) होता है (b = 0 और c = 0), तो यह केवल स्केल करता है:

[sx00sy]\begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}
X मापन1
-33
Y मापन1
-33
-8-7-6-5-4-3-2-112345678-5-4-3-2-112345y = x (मूल)मापित
जोड़

तत्समक आव्यूह (identity matrix) वह स्केलिंग आव्यूह है जिसमें दोनों स्केल = 1 हैं। यह 1 से गुणा करने जैसा है — कुछ नहीं करता। हर आव्यूह का यह “कुछ नहीं करने वाला” साथी होता है।

भाग 4: घुमाव (Rotation)

कोण theta से घुमाव इस आव्यूह का उपयोग करता है:

[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}
कोण (रेडियन)0
06.28
-8-7-6-5-4-3-2-112345678-5-4-3-2-112345मूलघूर्णित
यह आज़माएं

घुमाव देखें:

  • theta = 0 पर, रेखा नहीं हिलती
  • theta = pi/4 (लगभग 0.785) पर, रेखा लंबवत हो जाती है
  • theta = pi/2 (लगभग 1.571) पर, y = x बदलकर y = -x हो जाता है
  • theta = pi (लगभग 3.14) पर, सब कुछ 180 डिग्री घूम जाता है

भाग 5: सारणिक (Determinant) — आव्यूह सिकोड़ता है या फैलाता है?

2x2 आव्यूह का सारणिक (determinant) बताता है कि आव्यूह क्षेत्रफलों को कितना बदलता है:

det⁡[abcd]=ad−bc\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc
det⁡=1×1−0×0\det = 1 \times 1 - 0 \times 0
चुनौती

चुनौती: ऊपर रूपांतरण स्लाइडरों पर जाकर सेट करें:

  1. a=2, b=0, c=0, d=3। सारणिक क्या है? (6 — क्षेत्रफल 6 गुना बड़ा)
  2. a=1, b=2, c=2, d=4। सारणिक क्या है? (0 — आव्यूह विलक्षण (singular) है!)
  3. क्या आप ऐसी सेटिंग ढूंढ सकते हैं जहां सारणिक ठीक 1 हो?

सारांश

अवधारणाइसका मतलब
आव्यूह (Matrix)संख्याओं की आयताकार ग्रिड
2x2 रूपांतरण(x, y) को (ax+by, cx+dy) में बदलता है
तत्समक आव्यूह (Identity matrix)कुछ नहीं करता — आव्यूहों का “1”
सारणिक (Determinant)क्षेत्रफल कितना बदलता है; 0 मतलब व्युत्क्रमणीय नहीं
घुमाव आव्यूह (Rotation matrix)बिंदुओं को घुमाने के लिए cos और sin का उपयोग

आव्यूह गणित के सबसे शक्तिशाली उपकरणों में से एक हैं। इनका उपयोग कंप्यूटर ग्राफ़िक्स (हर 3D गेम आव्यूहों का उपयोग करता है!), भौतिकी, इंजीनियरिंग, मशीन लर्निंग, और बहुत कुछ में होता है। यह तो बस शुरुआत है।

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