पूर्व-कलन (Precalculus)

फलनों का संयोजन (Composition)

आप पहले से जानते हैं कि फलनों को कैसे जोड़ा, घटाया और गुणा किया जाता है। लेकिन उन्हें मिलाने का एक और भी शक्तिशाली तरीका है: संयोजन (composition)। आउटपुट मिलाने के बजाय, आप एक फलन का आउटपुट सीधे दूसरे फलन में डालते हैं। यह एक असेंबली लाइन जैसा है — पहली मशीन इनपुट को प्रोसेस करती है, फिर अपना परिणाम दूसरी मशीन को सौंपती है।

1. मूल विचार: f(g(x))

जब हम f(g(x)) लिखते हैं, तो इसका मतलब है: पहले x पर g का मान निकालो, फिर वह परिणाम f में डालो। “भीतरी” फलन g पहले चलता है, और “बाहरी” फलन f बाद में।

दो सरल फलनों से शुरू करते हैं और देखते हैं कि उनका संयोजन कैसा दिखता है।

-12-10-8-6-4-224681012-224681012f(x) = 2x + 1g(x) = x²f(g(x)) = 2x² + 1

बैंगनी रेखा f है, नीला वक्र g है, और लाल वक्र f(g(x)) है। किसी भी x-मान के लिए, लाल वक्र की ऊंचाई g(x) के मान पर f का मान है। उदाहरण के लिए, x = 2 पर: g(2) = 4, फिर f(4) = 2(4) + 1 = 9।

2. समायोज्य संयोजन

अब इसे इंटरैक्टिव बनाते हैं। दोनों फलनों के मापदंडों को नियंत्रित करें और संयोजन को वास्तविक समय में बदलते देखें।

f(x) = a*x + b और g(x) = c*x^2 + d

a (f में)2
-33
b (f में)1
-55
c (g में)1
-33
d (g में)0
-55
f(x)=2x+1,g(x)=1x2+0f(x) = 2x + 1, \quad g(x) = 1x^2 + 0
f(g(x))=2(1x2+0)+1f(g(x)) = 2(1x^2 + 0) + 1
-20-18-16-14-12-10-8-6-4-22468101214161820-10-8-6-4-22468101214f(x) = ax + bg(x) = cx² + df(g(x))
यह आज़माएं

स्लाइडर्स से खेलें और ध्यान दें:

  • a बदलने से संयोजन ऊर्ध्वाधर रूप से खिंचता या पलटता है (जैसे अकेले f को प्रभावित करता है)
  • c बदलने से परवलयिक आकार की चौड़ाई बदलती है
  • b और d चीज़ों को शिफ्ट करते हैं, लेकिन अलग-अलग तरीकों से। क्या आप समझ सकते हैं कि कौन सा शिफ्ट क्या करता है?

3. क्रम मायने रखता है: f(g(x)) बनाम g(f(x))

संयोजन के बारे में सबसे महत्वपूर्ण बात: यह क्रमविनिमेय (commutative) नहीं है। क्रम बदलने से आमतौर पर पूरी तरह अलग फलन मिलता है। आइए प्रमाण देखें।

a (f = ax+1 में)2
-33
c (g = cx² में)1
-33
f(g(x))=2⋅(1x2)+1=2⋅1⋅x2+1f(g(x)) = 2 \cdot (1x^2) + 1 = 2 \cdot 1 \cdot x^2 + 1
g(f(x))=1⋅(2x+1)2g(f(x)) = 1 \cdot (2x + 1)^2
-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-4-22468101214f(g(x))g(f(x))
जोड़

लाल और हरे-नीले वक्र लगभग कभी एक जैसे नहीं होते। f(g(x)) में पहले g लगता है, फिर f। g(f(x)) में पहले f लगता है, फिर g। अलग क्रम, अलग परिणाम। यह गुणन से मौलिक रूप से अलग है, जहां 3 गुणा 5 बराबर 5 गुणा 3 होता है। संयोजन में संक्रियाओं का क्रम ही सब कुछ है।

4. त्रिकोणमितीय और बहुपद का संयोजन

संयोजन सिर्फ बहुपदों तक सीमित नहीं है। आइए एक त्रिकोणमितीय फलन को एक रैखिक फलन के साथ संयोजित करें। यहां f(x) = sin(x) और g(x) = mx + c। संयोजन f(g(x)) = sin(mx + c) वास्तव में त्रिकोणमिति की सामान्य ज्या तरंग (sine wave) है!

m (आवृत्ति)1
0.54
c (कला)0
-33
f(g(x))=sin⁡(1x+0)f(g(x)) = \sin(1x + 0)
-8-6-4-22468-224f(x) = sin(x)g(x) = mx + cf(g(x)) = sin(mx+c)
जोड़

त्रिकोणमितीय रूपांतरण वास्तव में फलन संयोजन हैं! जब आप sin(2x + pi/3) लिखते हैं, तो आप sin को रैखिक फलन g(x) = 2x + pi/3 के साथ संयोजित कर रहे हैं। त्रिकोणमिति कक्षा की “आवृत्ति” और “कला विस्थापन” (phase shift) वास्तव में भीतरी फलन की प्रवणता (slope) और अंतःखंड (intercept) हैं।

5. जटिल फलन को तोड़ना (Decomposition)

उल्टा जाना भी उतना ही महत्वपूर्ण है: एक जटिल फलन दिया हो, तो क्या आप उसे सरल भागों में तोड़ सकते हैं? उदाहरण के लिए, h(x) = (3x - 1)^2 को f(g(x)) के रूप में देखा जा सकता है जहां g(x) = 3x - 1 और f(x) = x^2।

g(x) = 3x + k में स्थिरांक-1
-55
-14-12-10-8-6-4-22468101214-22468101214f(x) = x² (बाहरी)g(x) = 3x + k (आंतरिक)f(g(x)) = (3x + k)²
चुनौती

चुनौती: फलन h(x) = sqrt(x^2 + 4) को f(g(x)) के रूप में विखंडित किया जा सकता है। f और g क्या हैं? (संकेत: अगर आप h की गणना चरणबद्ध तरीके से करें, तो “अंतिम” संक्रिया कौन सी होगी?) यह कौशल कलन (calculus) में श्रृंखला नियम (chain rule) के लिए बहुत ज़रूरी है, जहां आप संयोजित फलनों का अवकलन बाहर से अंदर की ओर करते हैं।
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