रूपांतरण (Transformations): फलनों को खींचना, पलटना और खिसकाना
आप जानते हैं कि y = x² कैसा दिखता है — वह क्लासिक U-आकार का परवलय (parabola)। लेकिन जब आप समीकरण में बदलाव करें तो क्या होता है? यहाँ एक संख्या जोड़ो, वहाँ गुणा करो, एक ऋणात्मक चिह्न लगाओ… ग्राफ़ पूर्वानुमानित तरीकों से हिलता, खिंचता और पलटता है।
एक बार जब आप रूपांतरण के नियम सीख लेंगे, तो दर्जनों बिंदु बनाए बिना लगभग कोई भी फलन खींच सकेंगे। आइए कदम-दर-कदम यह समझ बनाते हैं।
1. आधार फलन: y = x²
यह हमारा प्रारंभ बिंदु है — सादा y = x²। हर रूपांतरण इसी वक्र को बदलेगा। इस आकार को “पहले” की तस्वीर के रूप में याद रखें।
शीर्ष (vertex) (0, 0) पर है, यह ऊपर की ओर खुलता है, और y-अक्ष के चारों ओर पूरी तरह सममित है। अब इसे इधर-उधर ले जाना शुरू करते हैं।
2. ऊर्ध्वाधर विस्थापन (Vertical Shift): y = x² + k
सबसे सरल रूपांतरण — बस एक संख्या जोड़ दो। अगर k धनात्मक है, तो पूरा ग्राफ़ ऊपर खिसकता है। अगर k ऋणात्मक है, तो नीचे। बाकी कुछ नहीं बदलता: वही चौड़ाई, वही आकार, बस अलग ऊँचाई।
k को ऊपर-नीचे खिसकाएँ। देखें कैसे लाल वक्र हिलता है लेकिन भूरे आधार वक्र के ठीक उसी आकार में रहता है। शीर्ष (0, 0) से (0, k) पर चला जाता है। ऊर्ध्वाधर विस्थापन बस इतना करता है — पूरे ग्राफ़ को उठाकर नई ऊँचाई पर रख देता है।
3. क्षैतिज विस्थापन (Horizontal Shift): y = (x - h)²
यह लोगों को उलझाता है। आप सोचेंगे कि y = (x - 3)² ग्राफ़ को बाएँ 3 इकाई खिसकाएगा, है ना? नहीं — यह इसे दाएँ 3 इकाई खिसकाता है। चिह्न “उल्टा” है जितना आप सोचते हैं।
इसकी वजह: शीर्ष वहाँ होता है जहाँ वर्ग (square) में रखी चीज़ शून्य होती है। (x - 3)² = 0 के लिए, यह तब है जब x = 3। तो शीर्ष x = 3 पर जाता है — यानी दाएँ।
“उल्टा” नियम: (x - h)² में, धनात्मक h ग्राफ़ को दाएँ खिसकाता है, और ऋणात्मक h बाएँ। इसे ऐसे सोचें: ग्राफ़ वहाँ जाता है जहाँ अंदर का भाग शून्य होता है। अगर (x - 3)² है, तो x को इसे शून्य करने के लिए +3 होना चाहिए। वही नया शीर्ष है।
4. ऊर्ध्वाधर खिंचाव (Vertical Stretch): y = a * x²
पूरे फलन को a से गुणा करने पर परवलय ऊर्ध्वाधर रूप से खिंचता या सिकुड़ता है। |a| के बड़े मान इसे संकरा और तीव्र बनाते हैं। छोटे मान इसे चौड़ा और सपाट।
स्लाइडर से ये प्रयोग करें:
- a = 2: ज़्यादा तीव्र — हर y-मान दोगुना
- a = 0.5: ज़्यादा चौड़ा — हर y-मान आधा
- a = 1: आधार जैसा ही (कोई बदलाव नहीं)
- a = 0: y = 0 पर सपाट रेखा — परवलय पूरी तरह दब गया!
- a, 0 और -1 के बीच: क्या होता है?
5. परावर्तन (Reflection): ऋणात्मक a क्या करता है
जब a ऋणात्मक होता है, तो परवलय उल्टा हो जाता है। यह x-अक्ष के पार परावर्तित होता है। a = -1 आपको एक पूर्ण दर्पण प्रतिबिंब देता है। ऋणात्मक चिह्न और खिंचाव मिलाएँ तो आपको पलटा और खिंचा हुआ ग्राफ़ मिलता है।
नीला वक्र ऊपर खुलता है, लाल नीचे। वे x-अक्ष के पार एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब हैं। यह ठीक वही है जो ऊपर के अनुभाग में a को शून्य से पार खिसकाने पर होता है — वापस जाकर आज़माएँ!
परावर्तन ऊर्ध्वाधर खिंचाव का एक विशेष मामला है जहाँ a ऋणात्मक है। आपको इसे अलग नियम के रूप में याद करने की ज़रूरत नहीं। ऋणात्मक a = पलटाव + खिंचाव।
6. सब मिलाएँ: शीर्ष रूप (Vertex Form)
अब बड़ा फ़ायदा। हम तीनों रूपांतरण एक साथ लगा सकते हैं:
y = a(x - h)² + k
इसे शीर्ष रूप (vertex form) कहते हैं क्योंकि आप शीर्ष सीधे समीकरण से पढ़ सकते हैं: यह (h, k) पर है। a का मान चौड़ाई और दिशा नियंत्रित करता है।
ये विशिष्ट परवलय बनाने की कोशिश करें:
- शीर्ष (2, -3) पर और ऊपर की ओर खुले → h = 2, k = -3, a = 1 रखें
- वही शीर्ष लेकिन नीचे की ओर खुले → बस a को -1 करें
- (-1, 4) पर केंद्रित एक बहुत चौड़ा परवलय → h = -1, k = 4, a = 0.3
- क्या आप इसे मूल बिंदु (0, 0) से गुज़ार सकते हैं? a को तब तक बदलें जब तक वक्र (0, 0) से न गुज़रे!
चुनौती: एक परवलय का शीर्ष (3, -2) पर है और वह बिंदु (5, 6) से गुज़रता है। क्या आप a का मान खोज सकते हैं? h = 3 और k = -2 रखें, फिर a स्लाइडर को तब तक बदलें जब तक वक्र (5, 6) से न गुज़रे। फिर बीजगणित से जाँचें: (5, 6) को y = a(x - 3)² - 2 में डालें और a के लिए हल करें।
7. यह किसी भी फलन पर काम करता है!
सबसे अच्छी बात: ये रूपांतरण नियम सिर्फ़ परवलयों के लिए नहीं हैं। ये हर फलन पर काम करते हैं। खिसकाना, खींचना, और पलटना — नियम वही रहते हैं चाहे आप x², sin(x), |x|, या sqrt(x) देख रहे हों।
देखिए — यहाँ चार अलग आधार फलन हैं, सब पर एक ही रूपांतरण लगा है:
परवलय: y = a(x - h)² + k
साइन तरंग: y = a * sin(x - h) + k
निरपेक्ष मान (Absolute value): y = a|x - h| + k
वर्गमूल (Square root): y = a * sqrt(x - h) + k
एक ही स्लाइडर, चार अलग फलन, एक ही रूपांतरण नियम। यह गणित के सबसे शक्तिशाली विचारों में से एक है: एक बार रूपांतरण समझ लें, तो आप कोई भी फलन संभाल सकते हैं — वे भी जो आपने पहले नहीं देखे। h इकाई दाएँ खिसकाओ, k इकाई ऊपर खिसकाओ, a से खींचो। बस। हर बार।
8. शीर्ष रूप (Vertex Form) से संबंध
सब एक साथ जोड़ते हैं। बीजगणित में आपने सीखा कि हर द्विघाती (quadratic) को इस रूप में लिखा जा सकता है:
y = a(x - h)² + k
अब आप जानते हैं कि इसका असल मतलब क्या है। यह सिर्फ़ रटने का सूत्र नहीं है — यह शुरू से परवलय बनाने के निर्देश हैं:
- शुरू करें y = x² से
- a गुणक से खींचें (और अगर a ऋणात्मक है तो पलटें)
- h इकाई दाएँ खिसकाएँ
- k इकाई ऊपर खिसकाएँ
शीर्ष (h, k) पर है क्योंकि U का तल वहीं ले गए हैं आप।
शीर्ष रूप रूपांतरण की भाषा ही है। जब शिक्षक “शीर्ष रूप में बदलो” कहते हैं, तो असल में पूछ रहे हैं: y = x² को इस विशेष परवलय में बदलने के लिए कौन से विस्थापन और खिंचाव चाहिए? जवाब आपको शीर्ष, दिशा, और चौड़ाई — सब एक समीकरण में दे देता है।
अंतिम चुनौती: y = -2(x + 1)² + 5 शीर्ष रूप में है। बिना ग्राफ़ बनाए इन सवालों के जवाब दें:
- शीर्ष कहाँ है? (h के चिह्न पर ध्यान दें!)
- यह ऊपर खुलता है या नीचे?
- y = x² से चौड़ा है या संकरा?
- फलन का अधिकतम y-मान क्या है?
फिर अनुभाग 6 के संयुक्त स्लाइडर्स पर जाएँ और a = -2, h = -1, k = 5 रखकर अपने उत्तर दृश्य रूप से जाँचें!