कलन

संबंधित दरें (Related Rates)

जब दो राशियाँ (quantities) किसी समीकरण से जुड़ी हों, तो एक को बदलने पर दूसरी भी बदलने को मजबूर हो जाती है। संबंधित दरों (related rates) की समस्याएँ पूछती हैं: अगर मुझे पता है कि एक राशि कितनी तेज़ी से बदल रही है, तो दूसरी कितनी तेज़ी से बदल रही है?

इसका उपकरण है समय के सापेक्ष अस्पष्ट अवकलन (implicit differentiation with respect to time)।

1. मूल विचार

कल्पना करें कि एक वृत्त (circle) की त्रिज्या (radius) बढ़ रही है। जैसे त्रिज्या r बढ़ती है, क्षेत्रफल A = pi * r^2 भी बढ़ता है। लेकिन क्षेत्रफल एक समान दर से नहीं बढ़ता — यह तेज़ से तेज़ होता जाता है क्योंकि वृत्त बड़ा हो रहा है।

A=πr2  ⟹  dAdt=2πr⋅drdtA = \pi r^2 \implies \frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt}

अगर त्रिज्या एक समान दर से बढ़े (dr/dt स्थिर हो), तो क्षेत्रफल की परिवर्तन दर dA/dt इस पर निर्भर करती है कि r पहले से कितना बड़ा है।

r (वर्तमान त्रिज्या)1
0.55
r=1,drdt=1,dAdt=2π⋅1⋅1≈6.28⋅1r = 1, \quad \frac{dr}{dt} = 1, \quad \frac{dA}{dt} = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 \approx 6.28 \cdot 1
1020304050607080A(r) = pi r²dA/dr = 2 pi rवर्तमान r पर Aवर्तमान r पर dA/dr
यह आज़माएं

यह करें: जैसे r 1 से 5 तक बढ़ता है, लाल वक्र (क्षेत्रफल परिवर्तन की दर) रैखिक रूप से बढ़ता है। r = 1 वाला छोटा वृत्त प्रति सेकंड लगभग 6.28 वर्ग इकाइयाँ बढ़ता है, लेकिन r = 5 वाला बड़ा वृत्त प्रति सेकंड लगभग 31.4 वर्ग इकाइयाँ बढ़ता है — पाँच गुना ज़्यादा, भले ही त्रिज्या उसी गति से बढ़ रही हो।

2. सीढ़ी की समस्या (Ladder Problem)

एक 10 फुट की सीढ़ी दीवार से टिकी है। सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 2 फुट/सेकंड की दर से दूर खिसक रहा है। ऊपरी सिरा कितनी तेज़ी से नीचे खिसक रहा है?

अगर x दीवार से निचले सिरे की दूरी है, और y ऊपरी सिरे की ऊँचाई है:

x2+y2=100  ⟹  2xdxdt+2ydydt=0x^2 + y^2 = 100 \implies 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0
dydt=−xy⋅dxdt\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \cdot \frac{dx}{dt}
x (दीवार से आधार दूरी)3
0.59.5
x=3,y=100−32x = 3, \quad y = \sqrt{100 - 3^2}
dydt=−3100−32⋅2\frac{dy}{dt} = -\frac{{3}}{\sqrt{100 - 3^2}} \cdot 2
-16-14-12-10-8-6-4-22468101214161820222426-14-12-10-8-6-4-224681012y (दीवार पर ऊँचाई)dy/dt (ऊपर से फिसलने की दर)वर्तमान x
जोड़

जब x छोटा है (सीढ़ी लगभग खड़ी), ऊपरी सिरा मुश्किल से हिलता है। लेकिन जैसे निचला सिरा दीवार से दूर जाता है, ऊपरी सिरा तेज़ी से नीचे गिरता है। x = 10 के पास, दर बहुत बड़ी हो जाती है — ऊपरी सिरा तेज़ी से गिरता है। यह भौतिक रूप से समझ में आता है: एक ही क्षैतिज धक्के का प्रभाव तब ज़्यादा होता है जब सीढ़ी लगभग सपाट हो।

3. गुब्बारे की समस्या (Balloon Problem)

एक गोलाकार गुब्बारे में dV/dt = 100 cm^3/sec की स्थिर दर से हवा भरी जा रही है। त्रिज्या कितनी तेज़ी से बदल रही है?

V=43πr3  ⟹  dVdt=4πr2⋅drdtV = \frac{4}{3}\pi r^3 \implies \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}
drdt=dV/dt4πr2=1004πr2\frac{dr}{dt} = \frac{dV/dt}{4\pi r^2} = \frac{100}{4\pi r^2}
r (गुब्बारे की त्रिज्या, cm)3
110
r=3 cm,drdt=1004π⋅32 cm/secr = 3 \text{ cm}, \quad \frac{dr}{dt} = \frac{100}{4\pi \cdot 3^2} \text{ cm/sec}
-2-1123456789101112131412345678910dr/dt (त्रिज्या दर)वर्तमान r
यह आज़माएं

यह करें: जब गुब्बारा छोटा हो (r = 1), त्रिज्या तेज़ी से बढ़ती है — लगभग 8 cm/sec। लेकिन जब बड़ा हो (r = 10), त्रिज्या मुश्किल से बदलती है — लगभग 0.08 cm/sec। भले ही हवा उसी दर से भर रही हो, बड़े गुब्बारे को अपनी त्रिज्या उतनी ही बढ़ाने के लिए ज़्यादा हवा चाहिए। यह एक व्युत्क्रम वर्ग (inverse square) संबंध है।

4. दरें वर्तमान स्थिति पर निर्भर करती हैं

हर संबंधित दरों की समस्या में यही पैटर्न है: एक राशि की परिवर्तन दर राशियों के वर्तमान मानों पर निर्भर करती है, सिर्फ दूसरी दरों पर नहीं।

dx/dt (x कितनी तेज़ बदलता है)2
0.55
x (वर्तमान मान)1
0.55

y = x^3 के लिए, संबंधित दर है:

dydt=3x2⋅dxdt=3⋅12⋅2\frac{dy}{dt} = 3x^2 \cdot \frac{dx}{dt} = 3 \cdot 1^2 \cdot 2
-10102030405060708090100y = x³dy/dt, x का फलनवर्तमान xवर्तमान x पर dy/dt
चुनौती

चुनौती: दो कारें एक चौराहे से एक ही समय पर निकलती हैं। कार A उत्तर की ओर 30 mph से जाती है और कार B पूर्व की ओर 40 mph से। 2 घंटे बाद उनके बीच की दूरी कितनी तेज़ी से बढ़ रही है? संकेत: दूरी d = sqrt(x^2 + y^2) है, जहाँ x और y कारों की स्थितियाँ हैं। समय के सापेक्ष अवकलन (differentiate) करें।

मुख्य विचार

जब राशियाँ किसी समीकरण से जुड़ी हों, तो उनकी परिवर्तन दरें भी जुड़ी होती हैं। उस संबंध को पाने के लिए समीकरण का समय के सापेक्ष अवकलन करें।

तरीका हमेशा एक ही है: राशियों को जोड़ने वाला समीकरण लिखें, दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करें (श्रृंखला नियम / chain rule का उपयोग करके!), ज्ञात मान और दरें डालें, और अज्ञात दर के लिए हल करें। श्रृंखला नियम ही इसे संभव बनाता है — संबंधित दरें वास्तव में श्रृंखला नियम का वास्तविक दुनिया के संबंधों पर अनुप्रयोग है।

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