समरूपता और विस्तारण (Similarity & Dilations)

दो आकृतियाँ समरूप (similar) होती हैं यदि उनका आकार एक जैसा हो लेकिन ज़रूरी नहीं कि माप भी एक जैसा हो। विस्तारण (dilation) वह रूपान्तरण है जो समरूप आकृतियाँ बनाता है — यह सभी कोण बरकरार रखते हुए हर चीज़ को एक स्थिर गुणक से बड़ा या छोटा करता है।

फलन का मापन (Scaling a Function)

विस्तारण को समझने का सबसे सरल तरीका एक फलन का मापन करना है। नीचे, मूल परवलय y = x² को गुणक k से मापित संस्करण के साथ दिखाया गया है।

ग्राफ़ पर समरूप त्रिभुज

दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों (AA समरूपता)। इसे रेखाओं से दिखा सकते हैं: मूल त्रिभुज मूल बिन्दु से गुज़रने वाली रेखाओं से बनता है, और विस्तारित त्रिभुज गुणक k से मापित होता है।

दोनों रेखाएँ मूल बिन्दु से गुज़रती हैं, लेकिन विस्तारित रेखा की ढाल कम है (2/k)। इन्हें एक ऊर्ध्वाधर रेखा से काटने पर बनने वाला त्रिभुज मूल के समरूप होगा — समान कोण, समानुपातिक भुजाएँ।

अनुपात स्थिर रहते हैं

समरूप आकृतियों का मूल गुण: संगत भुजाओं के अनुपात बराबर होते हैं। यदि आप एक त्रिभुज को गुणक k से मापित करें, तो हर भुजा k से गुणित हो जाती है, लेकिन भुजाओं के बीच के अनुपात वही रहते हैं।

आप चाहे कोई भी गुणक चुनें, अनुपात a/b हमेशा अनुपात a’/b’ के बराबर रहता है। समरूपता का सार यही है।

AA, SAS, और SSS समरूपता

हर भुजा और कोण जाँचने की ज़रूरत नहीं। कुछ शॉर्टकट हैं:

• AA (कोण-कोण): यदि दो कोण मेल खाते हैं, तो त्रिभुज समरूप हैं (तीसरा कोण 180° नियम से तय हो जाता है)।
• SAS (भुजा-कोण-भुजा): यदि दो भुजाएँ समानुपातिक हैं और बीच का कोण बराबर है, तो त्रिभुज समरूप हैं।
• SSS (भुजा-भुजा-भुजा): यदि तीनों भुजाओं के जोड़े समानुपातिक हैं, तो त्रिभुज समरूप हैं।