खंडित और सीढ़ी फलन (Piecewise & Step Functions)
हर फलन एक ही नियम से नहीं चलता। कभी-कभी सूत्र बदल जाता है इस पर निर्भर करते हुए कि आप x-अक्ष पर कहाँ हैं। इन्हें खंडित फलन (piecewise functions) कहते हैं, और ये हर जगह मिलते हैं — टैक्स स्लैब से लेकर शिपिंग दरों तक, यहाँ तक कि आपके फोन की बैटरी कैसे घटती है।
आइए इन्हें टुकड़ा-टुकड़ा बनाकर समझें।
1. एक सरल दो-खंडीय फलन
विचार सीधा है: जब x एक निश्चित मान से कम हो तो एक सूत्र इस्तेमाल करें, और जब x उससे अधिक हो तो दूसरा। जहाँ नियम बदलता है उसे विभाजन बिंदु (breakpoint) कहते हैं।
यहाँ हम एक ऐसा फलन बनाएँगे जो x ऋणात्मक होने पर -x के बराबर है और x शून्य या धनात्मक होने पर x वर्ग के बराबर। देखें कैसे ग्राफ़ में दो अलग “व्यक्तित्व” विभाजन बिंदु पर जुड़ते हैं।
बाईं ओर (x < 0) आपको ढाल -1 वाली सीधी रेखा दिखती है। दाईं ओर (x >= 0) परिचित परवलय (parabola) दिखता है। ये मूल बिंदु पर मिलते हैं — यही हमारा विभाजन बिंदु है।
2. विभाजन बिंदु हिलाना
जब आप विभाजन बिंदु को बाएँ या दाएँ खिसकाते हैं तो क्या होता है? फलन वही दो नियम इस्तेमाल करता है, लेकिन स्थानांतरण बिंदु बदलता है। स्लाइडर खींचें और देखें कैसे दो खंडों के बीच की “सिलाई” x-अक्ष पर चलती है।
विभाजन बिंदु इधर-उधर करें। ध्यान दें कि कुछ स्थितियों में दोनों खंड सहज रूप से जुड़ते हैं, और कुछ में एक दिखने वाली छलांग (असंतुलन) है। क्या आप ऐसा विभाजन बिंदु खोज सकते हैं जहाँ दोनों खंड बिल्कुल सही जुड़ें? सोचें — कब -x और x वर्ग बराबर होते हैं।
3. निरपेक्ष मान एक खंडित फलन है
यहाँ एक ऐसा जोड़ है जो बहुत से विद्यार्थियों को चौंकाता है: निरपेक्ष मान फलन (absolute value function) |x| वास्तव में एक छुपा हुआ खंडित फलन है!
जब x ऋणात्मक हो तो यह -x के बराबर है (चिह्न बदलकर धनात्मक बनाता है) और जब x पहले से धनात्मक हो तो x के बराबर। आइए दोनों को साथ देखें।
दोनों वक्र बिल्कुल एक-दूसरे के ऊपर हैं। ये एक ही फलन हैं, बस दो अलग तरीकों से लिखे गए।
हर निरपेक्ष मान फलन खंडित है। जब आप |व्यंजक| देखें, तो आपका दिमाग अपने आप सोचे: “यह व्यंजक के बराबर है जब वह धनात्मक हो, और व्यंजक के ऋणात्मक के बराबर जब वह ऋणात्मक हो।” यह मानसिक अनुवाद निरपेक्ष मान समीकरणों और असमिकाओं को हल करने की कुंजी है।
4. समायोज्य खंडित ढाल
अब आइए हर खंड के ढाल को नियंत्रित करें। स्लाइडर से बाएँ खंड का ढाल और दाएँ खंड का गुणांक बदलें। विभाजन बिंदु स्लाइडर जोड़ को हिलाता है।
धूसर और नीले वक्र दिखाते हैं कि यदि प्रत्येक खंड विभाजन बिंदु के पार भी जारी रहता तो कैसा दिखता। हरा-नीला वक्र वास्तविक खंडित फलन है — यह विभाजन बिंदु से पहले बाएँ खंड और बाद में दाएँ खंड को उठाता है। ऐसी स्लाइडर सेटिंग खोजने की कोशिश करें जहाँ संक्रमण बिल्कुल सहज हो (न छलांग, न कोना)।
5. सीढ़ी फलन (Step Functions)
सीढ़ी फलन एक विशेष खंडित फलन है जो हर अंतराल पर स्थिर रहता है और फिर नए मान पर “छलांग” लगाता है। डाक दरों की तरह सोचें: कीमत तब तक एक जैसी रहती है जब तक आपका पैकेट अगले वज़न वर्ग में नहीं पहुँचता, फिर बढ़ जाती है।
फ्लोर फलन (जिसे महत्तम पूर्णांक फलन भी कहते हैं) क्लासिक सीढ़ी फलन है। यह हर इनपुट को निकटतम पूर्णांक तक नीचे पूर्णांकित करता है। फ्लोर लेने से पहले x को सीढ़ी चौड़ाई से भाग देने पर हर “सीढ़ी” की चौड़ाई नियंत्रित होती है। अधिक चौड़ाई = अधिक चौड़ी सीढ़ियाँ।
6. विभाजन बिंदु पर सांतत्य
एक खंडित फलन विभाजन बिंदु पर संतत (continuous) होता है यदि दोनों खंड वहाँ एक ही y-मान देते हैं — कोई अंतराल नहीं, कोई छलांग नहीं। आइए जाँचें। नीचे, बायाँ खंड एक रेखा mx + b है और दायाँ खंड x वर्ग है। x = 0 पर छलांग हटाने के लिए b को समायोजित करें।
चुनौती: फलन को x = 0 पर संतत बनाने के लिए, बाएँ खंड का मान उस बिंदु पर दाएँ खंड के बराबर होना चाहिए। दायाँ खंड 0 का वर्ग = 0 देता है। तो बाएँ खंड को m(0) + b = 0 देना होगा, यानी b = 0। b को 0 पर लाएँ और पुष्टि करें कि अंतराल गायब हो गया। अब, क्या फलन चिकना (smooth) भी है (कोई कोना नहीं)? m का कौन सा मान इसे चिकना भी बनाएगा?