इकाई वृत्त को समझना
त्रिकोणमिति का हर मान एक साधारण वृत्त पर रहता है। इकाई वृत्त (unit circle) मूल बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या 1 का वृत्त है, और यह त्रिकोणमिति की रोज़ेटा स्टोन है। एक बार इसे समझ लें, तो साइन, कोसाइन और टैंजेंट कैलकुलेटर के रहस्यमय बटन नहीं रहते — वे ऐसे निर्देशांक बन जाते हैं जिन्हें आप देख सकते हैं।
वृत्त और उसके निर्देशांक
इकाई वृत्त पर कोण theta (धनात्मक x-अक्ष से मापा गया) पर स्थित बिंदु के निर्देशांक (cos theta, sin theta) होते हैं। बस यही पूरा विचार है। आइए इसे होते हुए देखें।
यहाँ हम इकाई वृत्त के ऊपरी और निचले आधे हिस्से को दो अलग फलनों के रूप में प्लॉट करते हैं, साथ में sin(x) और cos(x) तरंगें भी हैं ताकि आप देख सकें कि निर्देशांक कैसे परिचित लहरदार वक्रों का निर्माण करते हैं।
बैंगनी वृत्त स्वयं इकाई वृत्त है। ऊर्ध्वाधर सियान रेखा cos(theta) दिखाती है — बिंदु का x-निर्देशांक। क्षैतिज लाल रेखा sin(theta) दिखाती है — बिंदु का y-निर्देशांक। दोनों रेखाएं इकाई वृत्त पर ठीक उस बिंदु पर मिलती हैं।
theta को धीरे-धीरे 0 से 6.28 तक खींचें (एक पूरा चक्कर)। देखें कि cos(theta) 1 से शुरू होता है और sin(theta) 0 से। theta = pi/2 (लगभग 1.57) पर, बिंदु वृत्त के शीर्ष पर पहुँचता है: cos = 0 और sin = 1। क्या आप वह कोण खोज सकते हैं जहाँ दोनों निर्देशांक बराबर हों?
साइन और कोसाइन तरंगों के रूप में
अगर हम कोण theta को “खोलकर” साइन और कोसाइन को x के फलन के रूप में प्लॉट करें, तो हमें क्लासिक तरंग आकार मिलते हैं। इकाई वृत्त वह जगह है जहाँ से ये तरंगें आती हैं।
- sin(x) 0 से शुरू होता है, 1 तक बढ़ता है, -1 तक गिरता है, और हर 2pi पर दोहराता है।
- cos(x) 1 से शुरू होता है, -1 तक गिरता है, वापस बढ़ता है, और हर 2pi पर दोहराता है।
- ये एक ही आकार हैं, बस pi/2 रेडियन (90 डिग्री) से खिसके हुए।
विशेष कोण
कुछ कोण ऐसे सटीक मान देते हैं जो गणित और विज्ञान में बार-बार दिखाई देते हैं। ये वे विशेष कोण (special angles) हैं जिन्हें आपको याद रखना चाहिए:
| कोण (डिग्री) | कोण (रेडियन) | cos theta | sin theta |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | pi/6 | sqrt(3)/2 | 1/2 |
| 45 | pi/4 | sqrt(2)/2 | sqrt(2)/2 |
| 60 | pi/3 | 1/2 | sqrt(3)/2 |
| 90 | pi/2 | 0 | 1 |
सममिति पर ध्यान दें: 0, 30, 45, 60, 90 डिग्री पर साइन के मान 0, 1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2, 1 हैं — और कोसाइन के मान वही सूची उल्टे क्रम में हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि cos(theta) = sin(90 - theta)। दोनों फलन 45 डिग्री के आर-पार एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं।
समकोण त्रिभुज से संबंध
इकाई वृत्त हवा में से नहीं आया। यह सीधे समकोण त्रिभुजों से आता है। कल्पना कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण (hypotenuse) इकाई वृत्त की त्रिज्या है (तो कर्ण की लंबाई 1 है)। तब:
- cos(theta) = आसन्न भुजा / कर्ण = आसन्न भुजा / 1 = आसन्न भुजा (adjacent side)
- sin(theta) = सामने की भुजा / कर्ण = सामने की भुजा / 1 = सामने की भुजा (opposite side)
तो वृत्त पर बिंदु का x-निर्देशांक ही आसन्न भुजा है, और y-निर्देशांक ही सामने की भुजा है। SOH-CAH-TOA शाब्दिक रूप से वृत्त में बना हुआ है।
हरी रेखा कर्ण (इकाई वृत्त की त्रिज्या) है। क्षैतिज लाल रेखा sin(theta) दिखाती है — त्रिभुज की ऊँचाई। जैसे-जैसे आप कोण बदलते हैं, त्रिभुज ऊँचा या छोटा होता जाता है, और साइन-कोसाइन के मान भी बदलते हैं।
चारों चतुर्थांश
अब तक हमने पहले चतुर्थांश (0 से 90 डिग्री के कोण) पर ध्यान दिया। लेकिन इकाई वृत्त 0 से 360 डिग्री और उससे आगे तक सभी कोणों को कवर करता है। साइन और कोसाइन के चिह्न (signs) बताते हैं कि बिंदु किस चतुर्थांश में है:
| चतुर्थांश | कोण सीमा | cos | sin |
|---|---|---|---|
| I | 0 से 90 | + | + |
| II | 90 से 180 | - | + |
| III | 180 से 270 | - | - |
| IV | 270 से 360 | + | - |
ऊपर theta स्लाइडर का उपयोग करें और cos और sin की क्षैतिज रेखाओं को देखें। जब theta, pi/2 (90 डिग्री) पार करता है, तो cos ऋणात्मक हो जाता है — बिंदु दूसरे चतुर्थांश में पहुँच गया है जहाँ x-निर्देशांक ऋणात्मक होते हैं। क्या आप चारों चतुर्थांशों में चिह्न पैटर्न की पुष्टि कर सकते हैं?
पाइथागोरस सर्वसमिका (Pythagorean Identity)
चूँकि इकाई वृत्त पर हर बिंदु मूल बिंदु से 1 की दूरी पर है, हमेशा यह सत्य होता है:
cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1
यह त्रिकोणमिति की सबसे महत्वपूर्ण सर्वसमिका है, और यह इकाई वृत्त पर लागू पाइथागोरस प्रमेय से ज़्यादा कुछ नहीं है।
पीली रेखा sin^2(x) + cos^2(x) का योग है — यह y = 1 पर एक सीधी रेखा है। x कुछ भी हो, लाल और नीले वक्र का योग हमेशा ठीक 1 होता है।
चुनौती: बिना कैलकुलेटर के, sin(5pi/6) और cos(5pi/6) का सटीक मान ज्ञात करें। संकेत: 5pi/6 दूसरे चतुर्थांश में है, और इसका संदर्भ कोण (reference angle) pi/6 है। ऊपर दी गई चतुर्थांश चिह्न नियम तालिका और विशेष कोण तालिका का उपयोग करें।