ज्यामिति

वृत्त के समीकरण (Circle Equations)

वृत्त उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक केंद्र बिंदु से निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर हैं। निर्देशांक तल पर, यह परिभाषा सीधे एक समीकरण में बदल जाती है।

वृत्त का मानक रूप (Standard Form)

केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण है:

(x - h)² + (y - k)² = r²

केंद्र को हिलाने और त्रिज्या बदलने के लिए स्लाइडर का उपयोग करें।

केंद्र h0
-55
केंद्र k0
-55
त्रिज्या r3
0.56
(x−0)2+(y−0)2=32(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2

चूँकि FunctionGraph y को x के फलन के रूप में दिखाता है, हम वृत्त को उसके ऊपरी अर्ध और निचले अर्ध में y के लिए हल करके बाँटते हैं:

y=0±32−(x−0)2y = 0 \pm \sqrt{ 3^2 - (x - 0)^2 }
-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810ऊपरी आधानिचला आधा
यह आज़माएं

प्रयोग करें:

  • h और k को खिसकाकर वृत्त को तल पर घुमाएँ।
  • r बढ़ाकर वृत्त को बड़ा करें।
  • h = 0, k = 0, r = 1 रखें — यह इकाई वृत्त (unit circle) है, गणित की सबसे महत्वपूर्ण आकृतियों में से एक।

दो अर्ध क्यों?

वृत्त एक फलन नहीं है — अधिकांश x-मानों के लिए, दो y-मान होते हैं (एक केंद्र के ऊपर, एक नीचे)। इसलिए हम इसे दो अलग फलनों के रूप में दिखाते हैं:

दोनों मिलकर पूरा वृत्त बनाते हैं।

विस्तृत रूप और वर्ग पूरा करना

अगर आप (x - h)² + (y - k)² = r² का विस्तार करें, तो मिलता है:

x² - 2hx + h² + y² - 2ky + k² = r²

या पुनर्व्यवस्थित करने पर:

x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² - r²) = 0

x2+y2−2(0)x−2(0)y+(02+02−32)=0x^2 + y^2 - 2(0)x - 2(0)y + (0^2 + 0^2 - 3^2) = 0

यह सामान्य रूप (general form) है। परीक्षा में आपको x² + y² + Dx + Ey + F = 0 जैसा समीकरण दिया जा सकता है और केंद्र व त्रिज्या ढूंढने को कहा जा सकता है। इसकी विधि है वर्ग पूरा करना (completing the square)।

जोड़

वर्ग पूरा करना, चरणबद्ध:

  1. x-पदों और y-पदों को अलग करें: (x² + Dx) + (y² + Ey) = -F
  2. हर वर्ग पूरा करें: (x + D/2)² - D²/4 + (y + E/2)² - E²/4 = -F
  3. पुनर्व्यवस्थित करें: (x + D/2)² + (y + E/2)² = -F + D²/4 + E²/4
  4. पढ़ लें: केंद्र = (-D/2, -E/2) और r² = -F + D²/4 + E²/4

इसी तरह आप सामान्य रूप से वापस मानक रूप में बदलते हैं।

त्रिज्या और व्यास

त्रिज्या r केंद्र को वृत्त के किसी भी बिंदु से जोड़ती है। व्यास d = 2r केंद्र से होकर पूरे वृत्त को पार करता है।

r=3d=2r=2×3r = 3 \qquad d = 2r = 2 \times 3
Circumference=2πr=2π×3\text{Circumference} = 2\pi r = 2\pi \times 3
Area=πr2=π×32\text{Area} = \pi r^2 = \pi \times 3^2

कोई बिंदु वृत्त से कितनी दूर है?

किसी बिंदु (x₀, y₀) के लिए, आप (x₀ - h)² + (y₀ - k)² का मूल्यांकन करके और r² से तुलना करके जाँच सकते हैं कि वह वृत्त के अंदर, पर, या बाहर है:

बिंदु x₀4
-88
(x0−h)2+(0−k)2=(4−0)2+02vsr2=32(x_0 - h)^2 + (0 - k)^2 = (4 - 0)^2 + 0^2 \quad \text{vs} \quad r^2 = 3^2
-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810ऊपरी आधानिचला आधाx = परीक्षण बिंदु
चुनौती

चुनौती: एक वृत्त का समीकरण x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0 है। वर्ग पूरा करके केंद्र और त्रिज्या ढूंढें। फिर स्लाइडर सेट करके अपने उत्तर की दृश्य रूप से पुष्टि करें। (संकेत: x-पदों और y-पदों को अलग-अलग समूहित करें।)
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