Geometría

Ecuaciones del Círculo

Un círculo es el conjunto de todos los puntos a una distancia fija (el radio) de un punto central. En el plano cartesiano, esta definición se traduce directamente en una ecuación.

Forma Estándar de un Círculo

La ecuación de un círculo con centro (h, k) y radio r es:

(x - h)² + (y - k)² = r²

Usa los controles deslizantes para mover el centro y cambiar el radio.

Centro h0
-55
Centro k0
-55
Radio r3
0.56
(x−0)2+(y−0)2=32(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2

Como FunctionGraph grafica y como función de x, dividimos el círculo en su mitad superior y mitad inferior resolviendo para y:

y=0±32−(x−0)2y = 0 \pm \sqrt{ 3^2 - (x - 0)^2 }
-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810Mitad superiorMitad inferior
Prueba Esto

Explora:

  • Mueve h y k para deslizar el círculo por el plano.
  • Aumenta r para hacer el círculo más grande.
  • Pon h = 0, k = 0, r = 1 — ese es el círculo unitario, uno de los objetos más importantes en matemáticas.

¿Por Qué Dos Mitades?

Un círculo no es una función — para la mayoría de los valores de x, hay dos valores de y (uno arriba del centro, uno abajo). Así que lo graficamos como dos funciones separadas:

Juntas forman el círculo completo.

Forma Expandida y Completar el Cuadrado

Si expandes (x - h)² + (y - k)² = r², obtienes:

x² - 2hx + h² + y² - 2ky + k² = r²

o reordenado:

x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² - r²) = 0

x2+y2−2(0)x−2(0)y+(02+02−32)=0x^2 + y^2 - 2(0)x - 2(0)y + (0^2 + 0^2 - 3^2) = 0

Esta es la forma general. En un examen, te podrían dar una ecuación como x² + y² + Dx + Ey + F = 0 y pedirte que encuentres el centro y el radio. La técnica es completar el cuadrado.

Conexión

Completar el cuadrado, paso a paso:

  1. Agrupa los términos en x y los términos en y: (x² + Dx) + (y² + Ey) = -F
  2. Completa cada cuadrado: (x + D/2)² - D²/4 + (y + E/2)² - E²/4 = -F
  3. Reordena: (x + D/2)² + (y + E/2)² = -F + D²/4 + E²/4
  4. Lee el centro = (-D/2, -E/2) y r² = -F + D²/4 + E²/4

Así es como conviertes de la forma general a la forma estándar.

Radio y Diámetro

El radio r conecta el centro con cualquier punto del círculo. El diámetro d = 2r se extiende a través de todo el círculo pasando por el centro.

r=3d=2r=2×3r = 3 \qquad d = 2r = 2 \times 3
Circunferencia=2πr=2π×3\text{Circunferencia} = 2\pi r = 2\pi \times 3
Aˊrea=πr2=π×32\text{Área} = \pi r^2 = \pi \times 3^2

¿Qué Tan Lejos Está un Punto del Círculo?

Dado un punto (x₀, y₀), puedes verificar si está dentro, sobre o fuera del círculo evaluando (x₀ - h)² + (y₀ - k)² y comparándolo con r²:

Punto x₀4
-88
(x0−h)2+(0−k)2=(4−0)2+02vsr2=32(x_0 - h)^2 + (0 - k)^2 = (4 - 0)^2 + 0^2 \quad \text{vs} \quad r^2 = 3^2
-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810Mitad superiorMitad inferiorx = punto de prueba
Desafío

Desafío: Un círculo tiene la ecuación x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0. Usa completar el cuadrado para encontrar el centro y el radio. Luego ajusta los controles para verificar tu respuesta visualmente. (Pista: agrupa los términos en x y los términos en y por separado.)
Hacer el Examen