Reglas de Probabilidad: Suma y Multiplicación
La probabilidad tiene unas pocas reglas fundamentales que te permiten combinar eventos. ¿Quieres saber la probabilidad de que ocurra A o B? Esa es la regla de la suma. ¿Quieres A y B? Esa es la regla de la multiplicación. Estas dos reglas, una vez dominadas, te permiten resolver casi cualquier problema de probabilidad.
Parte 1: La Regla de la Suma
La probabilidad de que ocurra A o B (o ambos) es:
¿Por qué restar P(A y B)? Porque cuando sumamos P(A) y P(B), contamos doble la intersección — los resultados donde ambos ocurren. Necesitamos restarla una vez para corregir eso.
Visualiza A y B como dos curvas que se solapan. La probabilidad total del “o” es todo lo que está bajo cualquiera de las curvas, pero la región de solapamiento no debe contarse dos veces:
Intenta poner el solapamiento en 0. Cuando P(A y B) = 0, los eventos son mutuamente excluyentes — no pueden ocurrir ambos. La fórmula se simplifica a: P(A o B) = P(A) + P(B). ¡Observa cómo las curvas no se solapan en absoluto!
Parte 2: Eventos Mutuamente Excluyentes
Cuando dos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo (como sacar un 2 y un 5 en un dado), son mutuamente excluyentes. Su solapamiento es cero:
A medida que aumentas la separación, las curvas se alejan y el solapamiento desaparece. Completamente separados = mutuamente excluyentes. Para estos eventos, la suma simple funciona:
Parte 3: La Regla de la Multiplicación
Para eventos independientes, la probabilidad de que ambos ocurran es:
Piensa en un diagrama de árbol: primero A ocurre (o no), luego B ocurre (o no). Cada rama multiplica las probabilidades a lo largo de su camino.
Modelemos dos eventos independientes con probabilidades ajustables:
Pensamiento con diagrama de árbol: Imagina lanzar dos monedas.
- P(cara en la primera) = 0.5
- P(cara en la segunda) = 0.5
- P(ambas cara) = 0.5 * 0.5 = 0.25
Cada camino a través del “árbol” multiplica las probabilidades de las ramas. ¡Pon ambos controles en 0.5 y verifica que la probabilidad conjunta muestre 0.25!
Parte 4: Regla de Multiplicación para Eventos Dependientes
Cuando los eventos no son independientes, la regla de multiplicación usa probabilidad condicional:
La probabilidad de B cambia dependiendo de si A ocurrió:
Ejemplo con cartas: Saca 2 cartas de una baraja sin reemplazo.
- P(la primera es un As) = 4/52
- P(la segunda es un As | la primera fue un As) = 3/51 (¡un as ya no está!)
- P(ambos Ases) = (4/52) * (3/51) = 12/2652
Observa cómo P(B|A) es menor que P(B) sería por sí sola — la primera extracción removió un as de la baraja. Eso es la dependencia en acción.
Parte 5: Regla del Complemento
A veces es más fácil calcular lo que no quieres y restarlo:
Desafío: Lanzas un dado 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 6?
Pista: Es más fácil encontrar P(ningún seis) y restar de 1. P(no 6 en un lanzamiento) = 5/6. Para tres lanzamientos independientes: P(ningún seis) = (5/6)^3. Entonces P(al menos un 6) = 1 - (5/6)^3.
Calcúlalo, luego verifica: ¿es mayor o menor de lo que habrías adivinado?
Resumen
| Regla | Fórmula | Cuándo Usarla |
|---|---|---|
| Suma | P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B) | Cualquiera de los eventos ocurre |
| Mutuamente excluyentes | P(A o B) = P(A) + P(B) | Los eventos no pueden co-ocurrir |
| Multiplicación (independientes) | P(A y B) = P(A) * P(B) | Ambos eventos, sin influencia |
| Multiplicación (dependientes) | P(A y B) = P(A) * P(B|A) | Ambos eventos, con influencia |
| Complemento | P(A) = 1 - P(no A) | Problemas de “al menos uno” |
Estas cinco reglas son tu kit completo de herramientas. Cada problema de probabilidad que encuentres en este curso puede descomponerse en combinaciones de estas reglas.