Álgebra 2

Completar el Cuadrado y la Fórmula Cuadrática

Ya has visto las cuadráticas en forma estándar: ax^2 + bx + c. Pero hay otra forma que revela el vértice directamente — y la técnica para llegar a ella se llama completar el cuadrado. También es la manera en que se deriva la fórmula cuadrática.

Parte 1: Forma Estándar — ¿Qué Controlan a, b, c?

Comienza con la forma estándar y explora cómo cada coeficiente da forma a la parábola:

a (curvatura)1
-33
b (inclinación)-2
-66
c (intersección con y)-3
-55
f(x)=1x2+−2x+−3f(x) = 1x^2 + -2x + -3
-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810x = -1x = 3(1.01, -4)
Prueba Esto

Observa cómo funcionan los coeficientes:

  • a controla la curvatura: positivo = abre hacia arriba, negativo = abre hacia abajo
  • b desplaza el vértice a la izquierda y derecha (y arriba/abajo de manera compleja)
  • c es donde la parábola cruza el eje y (pon x = 0)

Pero encontrar el vértice a partir de a, b, c no es obvio. ¡Por eso necesitamos la forma del vértice!

Parte 2: Forma del Vértice — La Imagen Clara

La forma del vértice de una cuadrática es:

f(x)=a(x−h)2+kf(x) = a(x - h)^2 + k

Aquí, (h, k) es el vértice — el punto más alto o más bajo. Veámoslo:

a (curvatura)1
-33
h (x del vértice)1
-55
k (y del vértice)-4
-55
f(x)=1(x−1)2+−4f(x) = 1(x - 1)^2 + -4
-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810x = -1x = 3(1.01, -4)
Prueba Esto

¡Ahora el vértice es obvio! (h, k) está justo ahí en la ecuación.

  • h desliza la parábola a la izquierda y derecha
  • k la desliza arriba y abajo
  • a sigue controlando la curvatura

Compara esto con la forma estándar — el vértice está oculto en a, b, c pero es visible en h, k.

Parte 3: Completar el Cuadrado — La Transformación

Aquí está el proceso paso a paso. Partiendo de ax^2 + bx + c:

  1. Factoriza a de los primeros dos términos: a(x^2 + (b/a)x) + c
  2. Suma y resta (b/2a)^2 dentro del paréntesis
  3. Factoriza el trinomio cuadrado perfecto
  4. Simplifica para obtener a(x - h)^2 + k

El vértice está en:

h=−b2a,k=c−b24ah = -\frac{b}{2a}, \quad k = c - \frac{b^2}{4a}

Verifiquemos esto con nuestros controles. Ajusta a, b, c y observa el vértice calculado:

a1
0.53
b4
-66
c1
-55
Estaˊndar: 1x2+4x+1\text{Estándar: } 1x^2 + 4x + 1
h=−42×1,k=1−424×1h = -\frac{4}{2 \times 1}, \quad k = 1 - \frac{4^2}{4 \times 1}
-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810(-2.02, -3)
Conexión

La fórmula del vértice h = -b/(2a) viene directamente de completar el cuadrado. No es algo aparte que memorizar — es una consecuencia del álgebra. Prueba a = 1, b = 4, c = 1. El vértice debería estar en h = -2, k = -3.

Parte 4: El Discriminante — ¿Cuántas Raíces?

El discriminante determina cuántas veces la parábola cruza el eje x:

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
a1
0.52
b2
-66
c-3
-55
Δ=22−4(1)(−3)\Delta = 2^2 - 4(1)(-3)
-12-10-8-6-4-224681012-8-6-4-22468x = -3x = 1(-1.02, -4)
Prueba Esto

Experimenta con el discriminante:

  • Delta > 0: Dos raíces reales — la parábola cruza el eje x dos veces (prueba a=1, b=2, c=-3)
  • Delta = 0: Una raíz repetida — el vértice toca el eje x (prueba a=1, b=-2, c=1)
  • Delta < 0: Sin raíces reales — la parábola no llega al eje x (prueba a=1, b=0, c=2)

¡El discriminante te da la respuesta antes de resolver!

Parte 5: La Fórmula Cuadrática

Completar el cuadrado en la ecuación general ax^2 + bx + c = 0 nos da la fórmula cuadrática:

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

El discriminante (b^2 - 4ac) está justo ahí debajo de la raíz cuadrada — ¡por eso determina el número de raíces!

a1
0.53
b-1
-66
c-6
-55
x=−(−1)±(−1)2−4(1)(−6)2(1)x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)}
-16-14-12-10-8-6-4-2246810121416-10-8-6-4-2246810x = -2x = 3(0.47, -6.25)
Desafío

Desafío: Usa la fórmula cuadrática para resolver estas ecuaciones, luego verifica con la gráfica:

  1. x^2 - 5x + 6 = 0 (pon a=1, b=-5, c=6)
  2. 2x^2 + 3x - 2 = 0 (pon a=2, b=3, c=-2)
  3. x^2 + 2x + 5 = 0 (pon a=1, b=2, c=5) — ¿qué pasa?

Para la #3, el discriminante es negativo. La fórmula cuadrática da números complejos — ¡la parábola nunca cruza el eje x!

Resumen

ConceptoIdea Clave
Forma estándarax^2 + bx + c — útil para encontrar la intersección con y
Forma del vérticea(x-h)^2 + k — revela el vértice (h,k) directamente
Completar el cuadradoTransforma la forma estándar a la forma del vértice
Ubicación del vérticeh = -b/(2a), k = c - b^2/(4a)
Discriminanteb^2 - 4ac te dice: 2 raíces, 1 raíz, o 0 raíces reales
Fórmula cuadráticax = (-b +/- sqrt(discriminante)) / (2a)

Completar el cuadrado no es solo una técnica — es la razón por la que funciona la fórmula cuadrática. Cada vez que usas la fórmula, estás completando el cuadrado de manera encubierta.

Hacer el Examen