Estadística

Valor esperado y distribuciones de probabilidad

Si juegas un juego muchas veces, cuanto esperas ganar en promedio? Si repites un experimento una y otra vez, donde se estabiliza el resultado promedio? La respuesta es el valor esperado — el promedio a largo plazo, ponderado por la probabilidad.

Parte 1: Que es el valor esperado?

El valor esperado (VE) de una variable aleatoria es el promedio ponderado de todos los resultados posibles, donde cada resultado se pondera por su probabilidad:

E(X)=∑xi⋅P(xi)E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)

Para una distribucion continua, el valor esperado es el “centro de masa” — el punto de equilibrio de la curva. Veamoslo con una distribucion normal:

Valor esperado (mu)0
-44
Dispersion (sigma)1
0.53
E(X)=μ=0E(X) = \mu = 0
-8-6-4-22468DistribuciónE(X) = mu
Prueba Esto

La marca roja senala el valor esperado — el punto de equilibrio de la distribucion. Observa que:

  • Mover mu desplaza el punto de equilibrio (y toda la curva)
  • Cambiar sigma cambia la dispersion pero mantiene el punto de equilibrio en el mismo lugar
  • El VE siempre esta en el centro de una distribucion simetrica

Parte 2: El promedio ponderado en accion

Piensa en el valor esperado como un promedio ponderado. Los resultados con alta probabilidad jalan el promedio hacia ellos mas que los de baja probabilidad.

Aqui hay una distribucion con “peso” ajustable en dos regiones — un pico principal y uno secundario:

Peso del pico 10.7
0.11
Peso del pico 20.3
0.11
Separacion de picos3
16
-8-6-4-22468Distribución combinadaPico 1Pico 2
E(X)≈0.7×(−3/2)+0.3×(3/2)0.7+0.3E(X) \approx \frac{0.7 \times (-3/2) + 0.3 \times (3/2)}{0.7 + 0.3}
Conexion

Analogia del centro de masa: Imagina que la curva es un alambre. El valor esperado es donde pondrias tu dedo para equilibrarlo. Un pico mas pesado jala el punto de equilibrio hacia el. Cuando w1 > w2, el equilibrio se inclina a la izquierda. Cuando w1 = w2, esta centrado.

Parte 3: VE con muchas pruebas

Cuantas mas veces repites un experimento, mas se acerca el promedio al valor esperado. Esta es la Ley de los grandes numeros.

Imagina lanzar un dado cargado. Con pocos lanzamientos, el promedio fluctua. Con muchos lanzamientos, converge:

Numero de pruebas5
1100
Error estandar=σn=1.55\text{Error estandar} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1.5}{\sqrt{5}}
-2-112345612345Distribución del promedio tras n pruebasE(X) = 2
Prueba Esto

Observa que pasa al aumentar las pruebas:

  • n = 1: Amplia dispersion — el resultado podria estar en cualquier lugar
  • n = 10: El promedio probablemente esta a menos de 0.5 del VE
  • n = 50: Muy concentrado alrededor de E(X) = 2
  • n = 100: Casi exacto — el promedio esta extremadamente cerca de 2

Por eso los casinos siempre ganan a largo plazo — juegan millones de “pruebas”!

Parte 4: Varianza y desviacion estandar

La varianza mide que tan dispersa esta la distribucion respecto al valor esperado:

Var(X)=E[(X−μ)2]=σ2\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2] = \sigma^2

La desviacion estandar es simplemente la raiz cuadrada de la varianza:

σ=Var(X)\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}
Desviacion estandar1
0.33
σ=1,σ2=12\sigma = 1, \quad \sigma^2 = 1^2
-8-6-4-22468DistribuciónDentro de 1 sigma

Mayor varianza significa que los resultados son mas impredecibles. Menor varianza significa que se agrupan estrechamente alrededor del valor esperado.

Parte 5: Comparando distribuciones

Dos juegos pueden tener el mismo valor esperado pero riesgos muy diferentes. Compara una apuesta “segura” con una “arriesgada”:

Apuesta segura (sigma bajo)0.5
0.31.5
Apuesta arriesgada (sigma alto)2.5
14
-8-6-4-22468101214Apuesta seguraApuesta arriesgada
Desafio

Desafio de teoria de juegos: Dos juegos cuestan $5 para jugar.

  • Juego A: Ganas $6 con probabilidad 0.9, ganas $0 con probabilidad 0.1. E(X) = 5.40
  • Juego B: Ganas $50 con probabilidad 0.12, ganas $0 con probabilidad 0.88. E(X) = 6.00

El Juego B tiene un valor esperado mas alto, pero el Juego A es mucho mas consistente. Cual preferirlas jugar 100 veces? Considera la varianza!

Usa los deslizadores para modelar las distribuciones “segura” y “arriesgada”.

Resumen

ConceptoQue significa
Valor esperado E(X)Promedio a largo plazo, ponderado por probabilidad
Centro de masaE(X) es el punto de equilibrio de la distribucion
Ley de los grandes numerosLos promedios convergen a E(X) con mas pruebas
VarianzaQue tan dispersos estan los resultados respecto a E(X)
Desviacion estandarRaiz cuadrada de la varianza — mismas unidades que los datos

El valor esperado es el numero mas importante en probabilidad. Te dice que esperar a largo plazo — ya sea que estes evaluando una decision de negocios, una estrategia de juego o una hipotesis cientifica.

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