Coordenadas Polares
En coordenadas cartesianas, ubicas un punto yendo a la derecha y hacia arriba: (x, y). En coordenadas polares, ubicas un punto dando una distancia desde el origen y un ángulo: (r, theta). Es como dar indicaciones diciendo “camina 5 pasos a 40 grados” en vez de “ve 3 pasos a la derecha y 4 pasos arriba”. Algunas curvas que son una pesadilla en forma cartesiana se vuelven elegantes y simples en coordenadas polares.
Polar vs. Cartesiano
Las fórmulas de conversión son:
- x = r cos(theta), y = r sin(theta) (de polar a cartesiano)
- r = sqrt(x^2 + y^2), theta = atan2(y, x) (de cartesiano a polar)
Nota: usamos atan2(y, x) en lugar de arctan(y/x) porque arctan pierde la información del cuadrante y falla cuando x = 0. La función atan2 verifica los signos de x e y para devolver el ángulo correcto en los cuatro cuadrantes.
El círculo gris tiene radio r. La recta roja sale en el ángulo theta. Donde se intersecan está el punto (r, theta) en coordenadas polares. La línea horizontal azul muestra la coordenada y de ese punto.
Mantén r fijo y barre theta de 0 a 6.28. La recta roja gira un círculo completo, y el punto de intersección traza el círculo gris. Ahora mantén theta fijo y cambia r — el punto se desliza a lo largo de la recta roja hacia o lejos del origen.
Curvas Polares Simples
Algunas ecuaciones polares producen curvas bellamente simples:
Círculos: r = a (radio constante)
La curva polar más simple es un círculo de radio a centrado en el origen.
Círculos que pasan por el origen: r = a sin(theta)
La ecuación r = a sin(theta) produce un círculo de diámetro a, situado encima del origen (su centro está en (0, a/2)).
En coordenadas cartesianas, esto se convierte en x^2 + (y - a/2)^2 = (a/2)^2, que podemos graficar:
El círculo pasa por el origen y tiene su punto más alto en y = a.
Las coordenadas polares son el lenguaje natural para cualquier cosa que involucre rotación. Las pantallas de radar usan coordenadas polares. Los mapas meteorológicos que muestran patrones de viento usan gráficas polares. Cualquier sistema donde importa “a qué distancia” y “en qué dirección” desde un punto central es inherentemente polar.
Curvas Rosa: r = a cos(n theta)
Las curvas rosa están entre las gráficas polares más hermosas. La ecuación r = a cos(n*theta) produce un patrón de flor donde n controla el número de pétalos:
- Si n es impar, la rosa tiene exactamente n pétalos.
- Si n es par, la rosa tiene exactamente 2n pétalos.
Podemos graficar la rosa convirtiendo a coordenadas cartesianas. Para una curva rosa, las coordenadas x e y en el ángulo t son x = rcos(t) = acos(nt)cos(t) e y = rsin(t) = acos(n*t)*sin(t). Aquí aproximamos graficando las envolventes positiva y negativa:
Esto muestra r como función de theta. Los lugares donde la curva cruza el cero son donde los pétalos comienzan y terminan. La línea amarilla marca la longitud máxima del pétalo.
Pon n = 2. Verás 4 cruces por cero en [0, 2pi], dando 4 pétalos. Pon n = 3. Obtienes 3 pétalos pero necesitas trazar el intervalo completo [0, pi] para completarlos. Pon n = 5 y cuenta: 5 pétalos para n impar, pero pon n = 4 y obtienes 8. La regla par/impar se ve claramente aquí.
Cardioides y Limaçons
La familia de curvas r = a + b cos(theta) produce diferentes formas dependiendo de la razón a/b:
- a/b = 1: Un cardioide (forma de corazón)
- a/b > 1: Un limaçon sin lazo interior (un círculo abollado)
- a/b < 1: Un limaçon con lazo interior
Esta gráfica muestra r vs theta. Cuando la curva cae por debajo de cero, esa porción crea el lazo interior de un limaçon. Cuando se mantiene no negativa en todo el recorrido, no hay lazo interior.
El cardioide (a = b) recibe su nombre de la palabra griega para “corazón”. Aparece de forma natural en el patrón de captación de ciertos micrófonos — un micrófono cardioide es más sensible al sonido que viene del frente (theta = 0) y menos sensible al que viene de atrás (theta = pi), siguiendo exactamente esta curva polar.
Espirales
La espiral de Arquímedes r = a*theta crece hacia afuera a medida que el ángulo aumenta:
Esto muestra r vs theta para la espiral. El radio aumenta linealmente con el ángulo, así que cada revolución lleva al punto más lejos del origen. La separación entre vueltas sucesivas es constante e igual a 2pia.
Desafío: La espiral logarítmica r = a * e^(btheta) aparece en conchas de nautilo, huracanes y brazos de galaxias. A diferencia de la espiral de Arquímedes, la separación entre vueltas crece exponencialmente. Si a = 0.5 y b = 0.1, traza (o imagina mentalmente) la espiral desde theta = 0 hasta theta = 6pi. ¿Cómo se compara el radio en theta = 6*pi con el radio en theta = 0?