Vectores: Dirección + Magnitud
Un vector es una cantidad que tiene tanto un tamaño (magnitud) como una dirección. La velocidad, la fuerza y el desplazamiento son todos vectores — te dicen no solo “cuánto” sino también “hacia dónde”. Un número solo (como la temperatura o la masa) es un escalar. Los vectores son el lenguaje de la física, la ingeniería y los gráficos por computadora.
Cómo se ve un vector
Un vector en dos dimensiones se puede describir de dos formas:
- Magnitud y dirección: “5 unidades a 30 grados”
- Forma por componentes: (x, y) = (magnitud * cos(ángulo), magnitud * sin(ángulo))
Podemos visualizar el vector graficando la línea desde el origen hasta el punto (mag * cos(ángulo), mag * sin(ángulo)):
La línea morada muestra la dirección del vector. La línea horizontal roja muestra la componente y (cuánto sube o baja). La componente x es la distancia horizontal desde el origen hasta donde apunta el vector.
Establece el ángulo en 0 radianes. El vector apunta completamente a la derecha — tiene una componente x igual a la magnitud y una componente y de 0. Ahora establece el ángulo en pi/2 (aproximadamente 1.57). El vector apunta directamente hacia arriba — toda componente y, sin componente x. Las funciones trigonométricas descomponen el vector en sus partes horizontal y vertical.
Forma por Componentes
La forma más común de trabajar con vectores es en forma por componentes: v = (v_x, v_y).
Dada la magnitud |v| y el ángulo theta:
- v_x = |v| cos(theta) (componente horizontal)
- v_y = |v| sin(theta) (componente vertical)
En la dirección inversa:
- |v| = sqrt(v_x^2 + v_y^2) (teorema de Pitágoras)
- theta = arctan(v_y / v_x) (tangente inversa)
Suma de Vectores: La Regla del Paralelogramo
Cuando sumas dos vectores, los colocas uno tras otro (punta con cola). El vector resultante va desde el inicio del primero hasta el final del segundo. En componentes, es maravillosamente simple:
(a_x, a_y) + (b_x, b_y) = (a_x + b_x, a_y + b_y)
La línea morada es el vector a, la línea roja es el vector b, y la línea verde es la resultante (a + b). La resultante siempre cae entre los dos vectores originales, como un compromiso de sus direcciones.
En física, la suma de vectores es cómo se combinan las fuerzas. Si dos personas empujan una caja en direcciones ligeramente diferentes, la caja se mueve a lo largo del vector resultante. Por eso un barco cruzando un río en ángulo termina aguas abajo — su velocidad y la corriente del río se suman como vectores.
Multiplicación por un Escalar
Multiplicar un vector por un escalar k escala su magnitud por |k| e invierte su dirección si k es negativo:
k * (v_x, v_y) = (k * v_x, k * v_y)
- k > 1: El vector se alarga (se estira).
- 0 < k < 1: El vector se acorta (se comprime).
- k < 0: El vector invierte su dirección y se escala.
- k = 0: El vector nulo — sin magnitud, sin dirección.
El Producto Punto
El producto punto de dos vectores produce un escalar:
a . b = a_x * b_x + a_y * b_y = |a| |b| cos(theta)
donde theta es el ángulo entre los vectores. El producto punto te dice cuánto “coinciden” dos vectores en dirección.
- Producto punto > 0: Los vectores apuntan en aproximadamente la misma dirección (ángulo < 90 grados).
- Producto punto = 0: Los vectores son perpendiculares (ángulo = 90 grados exactos).
- Producto punto < 0: Los vectores apuntan en direcciones aproximadamente opuestas (ángulo > 90 grados).
Ajusta los ángulos para que los dos vectores sean perpendiculares (que difieran aproximadamente 1.57 radianes). La línea amarilla que muestra cos(ángulo entre ellos) baja a cero. Esta es la prueba geométrica de la perpendicularidad: dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto punto es cero.
Vectores Unitarios
Un vector unitario tiene magnitud 1. Para convertir cualquier vector en un vector unitario, divides entre su magnitud:
u = v / |v|
Los vectores unitarios son útiles porque capturan solo la dirección, sin información de magnitud. Los vectores unitarios estándar son i = (1, 0) y j = (0, 1), así que cualquier vector (a, b) puede escribirse como ai + bj.
Desafío: Un avión vuela a 300 mph rumbo al norte (ángulo = pi/2). Un viento lateral sopla hacia el este a 40 mph (ángulo = 0). Escribe ambos como vectores en forma por componentes, súmalos, y encuentra la velocidad y dirección real del avión. ¿Cuántos grados se desvía el avión de su rumbo?