Cálculo

Razones de Cambio Relacionadas

Cuando dos cantidades están conectadas por una ecuación, cambiar una obliga a la otra a cambiar también. Los problemas de razones de cambio relacionadas preguntan: si sé qué tan rápido cambia una cantidad, ¿qué tan rápido cambia la otra?

La herramienta es la diferenciación implícita con respecto al tiempo.

1. La Idea Central

Imagina un círculo cuyo radio está creciendo. A medida que el radio r aumenta, el área A = pi * r^2 también aumenta. Pero el área no crece a un ritmo constante — crece cada vez más rápido porque el círculo se está haciendo más grande.

A=πr2  ⟹  dAdt=2πr⋅drdtA = \pi r^2 \implies \frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt}

Si el radio crece a un ritmo constante (dr/dt es constante), la tasa de cambio del área dA/dt depende de qué tan grande ya es r.

r (radio actual)1
0.55
r=1,drdt=1,dAdt=2π⋅1⋅1≈6.28⋅1r = 1, \quad \frac{dr}{dt} = 1, \quad \frac{dA}{dt} = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 \approx 6.28 \cdot 1
1020304050607080A(r) = pi r²dA/dr = 2 pi rA en r actualdA/dr en r actual
Prueba Esto

Prueba esto: A medida que r aumenta de 1 a 5, la curva roja (tasa de cambio del área) crece linealmente. Un círculo pequeño con r = 1 gana aproximadamente 6.28 unidades cuadradas por segundo, pero un círculo más grande con r = 5 gana aproximadamente 31.4 unidades cuadradas por segundo — cinco veces más, aunque el radio crece a la misma velocidad.

2. El Problema de la Escalera

Una escalera de 10 pies se apoya contra una pared. La base se desliza alejándose de la pared a 2 pies/seg. ¿Qué tan rápido baja la parte superior?

Si x es la distancia de la pared a la base, e y es la altura de la parte superior:

x2+y2=100  ⟹  2xdxdt+2ydydt=0x^2 + y^2 = 100 \implies 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0
dydt=−xy⋅dxdt\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \cdot \frac{dx}{dt}
x (distancia de la base a la pared)3
0.59.5
x=3,y=100−32x = 3, \quad y = \sqrt{100 - 3^2}
dydt=−3100−32⋅2\frac{dy}{dt} = -\frac{{3}}{\sqrt{100 - 3^2}} \cdot 2
-16-14-12-10-8-6-4-22468101214161820222426-14-12-10-8-6-4-224681012y (altura en la pared)dy/dt (velocidad de descenso)x actual
Conexión

Cuando x es pequeño (la escalera casi vertical), la parte superior apenas se mueve. Pero conforme la base se aleja de la pared, la parte superior acelera hacia abajo. Cerca de x = 10, la velocidad se vuelve enorme — la parte superior se desploma. Esto tiene sentido físico: el mismo empuje horizontal tiene un efecto mayor cuando la escalera está casi horizontal.

3. El Problema del Globo

Un globo esférico se infla a un ritmo constante de dV/dt = 100 cm^3/seg. ¿Qué tan rápido cambia el radio?

V=43πr3  ⟹  dVdt=4πr2⋅drdtV = \frac{4}{3}\pi r^3 \implies \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}
drdt=dV/dt4πr2=1004πr2\frac{dr}{dt} = \frac{dV/dt}{4\pi r^2} = \frac{100}{4\pi r^2}
r (radio del globo, cm)3
110
r=3 cm,drdt=1004π⋅32 cm/segr = 3 \text{ cm}, \quad \frac{dr}{dt} = \frac{100}{4\pi \cdot 3^2} \text{ cm/seg}
-2-1123456789101112131412345678910dr/dt (tasa de cambio del radio)r actual
Prueba Esto

Prueba esto: Cuando el globo es pequeño (r = 1), el radio crece rápido — aproximadamente 8 cm/seg. Pero cuando es grande (r = 10), el radio apenas cambia — aproximadamente 0.08 cm/seg. Aunque el aire entra al mismo ritmo, un globo más grande necesita más aire para aumentar su radio la misma cantidad. La relación es una inversa cuadrática.

4. Las Tasas Dependen del Estado Actual

Este es el patrón en todo problema de razones relacionadas: la tasa de cambio de una cantidad depende de los valores actuales de las cantidades, no solo de las otras tasas.

dx/dt (rapidez de cambio de x)2
0.55
x (valor actual)1
0.55

Para y = x^3, la razón relacionada es:

dydt=3x2⋅dxdt=3⋅12⋅2\frac{dy}{dt} = 3x^2 \cdot \frac{dx}{dt} = 3 \cdot 1^2 \cdot 2
-10102030405060708090100y = x³dy/dt como función de xx actualdy/dt en x actual
Desafío

Desafío: Dos autos salen de una intersección al mismo tiempo. El auto A va hacia el norte a 30 mph y el auto B va hacia el este a 40 mph. ¿Qué tan rápido aumenta la distancia entre ellos después de 2 horas? Pista: la distancia es d = sqrt(x^2 + y^2), donde x e y son las posiciones de los autos. Diferencia con respecto al tiempo.

La Gran Idea

Cuando las cantidades están vinculadas por una ecuación, sus tasas de cambio también están vinculadas. Diferencia la ecuación con respecto al tiempo para encontrar la conexión.

La estrategia siempre es la misma: escribe una ecuación que relacione las cantidades, diferencia ambos lados con respecto a t (¡usando la regla de la cadena!), sustituye los valores y tasas conocidos, y resuelve para la tasa desconocida. La regla de la cadena es lo que hace que todo funcione — las razones relacionadas son realmente la regla de la cadena aplicada a conexiones del mundo real.

Hacer el Examen