ध्रुवीय निर्देशांक (Polar Coordinates)

कार्तीय निर्देशांकों (Cartesian coordinates) में, आप एक बिंदु को दाएँ और ऊपर जाकर ढूँढते हैं: (x, y)। ध्रुवीय निर्देशांकों (polar coordinates) में, आप मूल बिंदु से दूरी और कोण देते हैं: (r, theta)। यह ऐसा है जैसे दिशा-निर्देश देना “40 डिग्री पर 5 कदम चलो” बजाय “3 कदम दाएँ और 4 कदम ऊपर जाओ।” कुछ वक्र जो कार्तीय रूप में बहुत जटिल हैं, ध्रुवीय रूप में सुंदर और सरल हो जाते हैं।

ध्रुवीय बनाम कार्तीय

रूपांतरण सूत्र हैं:

• x = r cos(theta), y = r sin(theta) (ध्रुवीय से कार्तीय)
• r = sqrt(x^2 + y^2), theta = atan2(y, x) (कार्तीय से ध्रुवीय)

ध्यान दें: हम arctan(y/x) के बजाय atan2(y, x) का उपयोग करते हैं क्योंकि साधारण arctan चतुर्थांश (quadrant) की जानकारी खो देता है और x = 0 होने पर विफल हो जाता है। atan2 फलन x और y दोनों के चिह्न जाँचकर चारों चतुर्थांशों में सही कोण देता है।

धूसर वृत्त की त्रिज्या r है। लाल रेखा कोण theta पर जाती है। जहाँ ये मिलती हैं, वही ध्रुवीय निर्देशांकों में बिंदु (r, theta) है। नीली क्षैतिज रेखा उस बिंदु का y-निर्देशांक दिखाती है।

सरल ध्रुवीय वक्र

कुछ ध्रुवीय समीकरण बेहद सुंदर वक्र बनाते हैं:

वृत्त: r = a (स्थिर त्रिज्या)

सबसे सरल ध्रुवीय वक्र मूल बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या a का वृत्त है।

मूल बिंदु से गुज़रने वाला वृत्त: r = a sin(theta)

समीकरण r = a sin(theta) व्यास a का एक वृत्त बनाता है, जो मूल बिंदु के ऊपर बैठता है (इसका केंद्र (0, a/2) पर है)।

कार्तीय निर्देशांकों में, यह x^2 + (y - a/2)^2 = (a/2)^2 बन जाता है, जिसे हम ग्राफ़ बना सकते हैं:

वृत्त मूल बिंदु से गुज़रता है और उसका सबसे ऊपरी बिंदु y = a पर है।

गुलाब वक्र (Rose Curves): r = a cos(n theta)

गुलाब वक्र सबसे सुंदर ध्रुवीय ग्राफ़ों में से हैं। समीकरण r = a cos(n*theta) एक फूल जैसा पैटर्न बनाता है जहाँ n पंखुड़ियों की संख्या नियंत्रित करता है:

• अगर n विषम है, तो गुलाब में ठीक n पंखुड़ियाँ हैं।
• अगर n सम है, तो गुलाब में ठीक 2n पंखुड़ियाँ हैं।

गुलाब वक्र को कार्तीय रूप में बदलकर बना सकते हैं। कोण t पर x और y निर्देशांक हैं x = rcos(t) = acos(nt)cos(t) और y = rsin(t) = acos(n*t)*sin(t)। यहाँ हम धनात्मक और ऋणात्मक आवरणों का ग्राफ़ बनाकर अनुमान लगाते हैं:

यह theta के फलन के रूप में r दिखाता है। जहाँ वक्र शून्य को पार करता है, वहाँ पंखुड़ियाँ शुरू और खत्म होती हैं। पीली रेखा अधिकतम पंखुड़ी लंबाई दिखाती है।

कार्डियॉइड और लिमाकॉन

वक्रों का परिवार r = a + b cos(theta) अनुपात a/b के अनुसार अलग-अलग आकार बनाता है:

• a/b = 1: एक कार्डियॉइड (दिल का आकार)
• a/b > 1: बिना अंदरूनी लूप वाला लिमाकॉन (डेंट वाला वृत्त)
• a/b < 1: अंदरूनी लूप वाला लिमाकॉन

यह प्लॉट r बनाम theta दिखाता है। जब वक्र शून्य से नीचे जाता है, तो वह हिस्सा लिमाकॉन का अंदरूनी लूप बनाता है। जब यह पूरी तरह गैर-ऋणात्मक रहता है, तो कोई अंदरूनी लूप नहीं होता।

सर्पिल (Spirals)

आर्किमिडीय सर्पिल (Archimedean spiral) r = a*theta कोण बढ़ने के साथ बाहर की ओर बढ़ता है:

यह सर्पिल के लिए r बनाम theta दिखाता है। त्रिज्या कोण के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है, इसलिए हर चक्कर बिंदु को मूल बिंदु से और दूर ले जाता है। लगातार लूप के बीच का अंतर स्थिर होता है और 2pia के बराबर होता है।