समकोण त्रिभुज त्रिकोणमिति: SOH-CAH-TOA
त्रिकोणमिति (Trigonometry) समकोण त्रिभुज में कोणों को भुजाओं के अनुपात से जोड़ती है। SOH-CAH-TOA याद रखने का एक आसान तरीका है:
- SOH: sin(theta) = सामने की भुजा / कर्ण (Opposite / Hypotenuse)
- CAH: cos(theta) = बगल की भुजा / कर्ण (Adjacent / Hypotenuse)
- TOA: tan(theta) = सामने की भुजा / बगल की भुजा (Opposite / Adjacent)
समकोण त्रिभुज बनाना
स्लाइडर से न्यूनकोण बदलें। देखें कि सामने और बगल की भुजाएँ कैसे बदलती हैं जबकि कर्ण की लम्बाई 5 बनी रहती है।
नीचे दिए गए ग्राफ़ में समकोण त्रिभुज दिखाया गया है। कर्ण मूल बिन्दु से 5 त्रिज्या वाले वृत्त पर एक बिन्दु तक जाता है। क्षैतिज भुजा बगल की भुजा (adjacent) है और ऊर्ध्वाधर भुजा सामने की भुजा (opposite) है।
यह आज़माएं: theta को 45 डिग्री पर सेट करें। सामने और बगल की भुजाएँ बराबर हो जाएँगी — यह आपका 45-45-90 त्रिभुज है! 30 डिग्री पर, सामने की भुजा कर्ण की आधी होती है (sin 30 = 0.5)।
त्रिकोणमितीय अनुपात कार्य में
अब देखते हैं कि sin, cos और tan कोण के 0 से 90 डिग्री तक बढ़ने पर कैसे बदलते हैं। नीचे x-अक्ष कोण theta को डिग्री में दर्शाता है।
मुख्य पैटर्न: जैसे-जैसे theta 0 से 90 डिग्री तक बढ़ता है: sin 0 से 1 तक जाता है, cos 1 से 0 तक जाता है, और tan 0 से अनन्त (infinity) की ओर बढ़ता है। 45 डिग्री पर sin = cos (त्रिभुज समद्विबाहु होता है)।
विशेष समकोण त्रिभुज
गणित में दो त्रिभुज बार-बार सामने आते हैं:
30-60-90 त्रिभुज
भुजाओं का अनुपात: 1 : sqrt(3) : 2
45-45-90 त्रिभुज
भुजाओं का अनुपात: 1 : 1 : sqrt(2)
SOH-CAH-TOA से सवाल हल करना
यह रहा तरीका:
- पहचानें कि कौन-सी भुजाएँ दी हैं और कौन-सी निकालनी है
- चुनें sin, cos या tan — इस आधार पर कि कौन-सी भुजाओं का जोड़ा शामिल है
- समीकरण बनाएँ और हल करें
चुनौती: एक सीढ़ी ज़मीन से 70 डिग्री के कोण पर एक दीवार से टिकी है। सीढ़ी की लम्बाई 10 फ़ीट है। यह दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है? (संकेत: दीवार की ऊँचाई सामने की भुजा है, सीढ़ी कर्ण है।)