ज्यामिति (Geometry)

ज्या नियम और कोज्या नियम (Law of Sines & Law of Cosines)

SOH-CAH-TOA केवल समकोण त्रिभुजों के लिए काम करता है। किसी भी त्रिभुज के लिए — न्यूनकोण, समकोण, या अधिककोण — हमें ज्या नियम (Law of Sines) और कोज्या नियम (Law of Cosines) चाहिए।

ज्या नियम (Law of Sines)

किसी भी त्रिभुज के लिए जिसकी भुजाएं a, b, c हैं और सामने के कोण A, B, C हैं:

1sin⁡A=0sin⁡B=0sin⁡C\frac1{\sin A} = \frac0{\sin B} = \frac0{\sin C}

इसका मतलब है कि हर भुजा और उसके सामने के कोण के साइन का अनुपात तीनों जोड़ियों के लिए बराबर होता है।

संवादात्मक खोज

एक ज्ञात भुजा और दो कोण रखें। ज्या नियम बाकी भुजाएं निकाल देगा।

भुजा a5
210
कोण A (डिग्री)40
1080
कोण B (डिग्री)60
1080
a=5,A=40°,B=60°,C=180°−40°−60°a = 5, \quad A = 40°, \quad B = 60°, \quad C = 180° - 40° - 60°
1sin⁡A=5sin⁡(40°)⇒b=5⋅sin⁡(60°)sin⁡(40°)\frac1{\sin A} = \frac{5}{\sin(40°)} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{5 \cdot \sin(60°)}{\sin(40°)}

नीचे का ग्राफ त्रिभुज दिखाता है। भुजा a, x-अक्ष पर है। बाकी दो भुजाएं सिरों से कोण A और B के अनुसार ऊपर जाती हैं।

-4-2246810121424681012भुजा aभुजा c (बाएं से, कोण B)भुजा b (दाएं से, कोण A)
यह आज़माएं

यह आज़माएं: a = 5, A = 30 डिग्री, B = 90 डिग्री रखें। चूंकि B 90 डिग्री है, त्रिभुज समकोण है। ज्या नियम अभी भी काम करता है, लेकिन SOH-CAH-TOA भी यहाँ लागू होगा।

परिवृत्त त्रिज्या का संबंध

ज्या नियम एक सुंदर तथ्य प्रकट करता है: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R, जहाँ R परिवृत्त (circumscribed circle) की त्रिज्या है — वह वृत्त जो तीनों शीर्षों से गुज़रता है।

इसका अर्थ है कि परिवृत्त त्रिज्या R = a / (2 sin A)। नीचे की ग्राफ़ दिखाती है कि एक स्थिर भुजा a के लिए कोण A बदलने पर R कैसे बदलता है। ध्यान दें कि A = 90° पर R सबसे छोटा है और A के 0° या 180° के करीब जाने पर R बहुत बड़ा हो जाता है।

भुजा a5
210
15304560759010512013515016515
यह आज़माएं

यह आज़माएं: a = 5 रखें और वक्र देखें। A = 90° पर R = 2.5 (न्यूनतम)। A = 30° पर R = 5। जैसे-जैसे कोण छोटा होता है, R बहुत बड़ा हो जाता है — एक स्थिर भुजा के सामने छोटे कोण का अर्थ बहुत बड़ा परिवृत्त है।

कोज्या नियम (Law of Cosines)

किसी भी त्रिभुज के लिए:

c2=a2+b2−2abcos⁡(C)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)

यह पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean theorem) का सामान्यीकरण है। जब C = 90 डिग्री, cos(C) = 0, और हमें c^2 = a^2 + b^2 मिलता है।

संवादात्मक खोज

दो भुजाएं और बीच का कोण रखें। कोज्या नियम तीसरी भुजा निकालेगा।

भुजा a4
18
भुजा b5
18
कोण C (डिग्री)60
10170
a=4,b=5,C=60°a = 4, \quad b = 5, \quad C = 60°
c2=42+52−2⋅4⋅5⋅cos⁡(60°)c^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(60°)

ग्राफ़ भुजा a और b को मूल बिंदु से दिखाता है जिनके बीच कोण C है। क्षैतिज रेखा भुजा a है, और तिरछी रेखा भुजा b है। लाल क्षैतिज रेखा तीसरी भुजा c की गणना की गई लंबाई दिखाती है।

-6-5-4-3-2-11234567891011121314-2-112345678910भुजा aभुजा bc = गणना की गई लंबाई
यह आज़माएं

यह आज़माएं: a = 3, b = 4, C = 90 डिग्री रखें। कोज्या नियम देता है c^2 = 9 + 16 - 0 = 25, इसलिए c = 5। यह प्रसिद्ध 3-4-5 समकोण त्रिभुज है! पाइथागोरस प्रमेय बस एक विशेष स्थिति है।

c^2 और a^2 + b^2 की तुलना

c^2 और a^2 + b^2 के बीच का संबंध त्रिभुज का प्रकार बताता है:

153045607590105120135150165180153045607590कोज्या नियम से c^2a^2 + b^2 (पाइथागोरस)

नीला वक्र कोण C बदलने पर c^2 दिखाता है। जहाँ यह पीली रेखा को काटता है, वहाँ C = 90 डिग्री है। पीली रेखा से नीचे, त्रिभुज न्यूनकोण है; ऊपर, अधिककोण है।

चुनौती

चुनौती: एक त्रिभुज की भुजाएं 7, 8, और 13 हैं। क्या यह न्यूनकोण, समकोण, या अधिककोण है? कोज्या नियम का उपयोग करके सबसे बड़ा कोण निकालें।
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