कलन

श्रृंखला नियम को देखें (Chain Rule)

आप पहले से सामान्य फलनों का अवकलन (differentiation) करना जानते हैं: x^2 का अवकलज 2x है, sin(x) का अवकलज cos(x) है। लेकिन sin(3x) का? या (2x + 1)^5 का?

ये संयोजन (compositions) हैं — फलनों के अंदर फलन। और इनका अवकलन करने के लिए आपको श्रृंखला नियम (chain rule) चाहिए।

1. फलनों के अंदर फलन

जब आप sin(3x) लिखते हैं, तो वास्तव में दो काम हो रहे हैं:

  1. आंतरिक फलन: g(x) = 3x (इनपुट को तीन गुना करो)
  2. बाहरी फलन: f(u) = sin(u) (परिणाम का साइन लो)

संयोजन है f(g(x)) = sin(3x)। श्रृंखला नियम बताता है कि इसका अवकलज कैसे निकालें।

ddxf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

सरल भाषा में: बाहरी का अवकलज (आंतरिक पर मूल्यांकित) गुणा आंतरिक का अवकलज।

2. sin(kx) के साथ देखें

सरल शुरुआत करते हैं। आंतरिक फलन g(x) = kx है, और बाहरी f(u) = sin(u) है। k बदलकर देखें कि आंतरिक फलन साइन तरंग को कैसे खींचता या सिकोड़ता है, और इसका अवकलज पर क्या प्रभाव पड़ता है।

k (आंतरिक फलन गुणांक)1
0.55
f(x)=sin⁡(1⋅x),f′(x)=1cos⁡(1⋅x)f(x) = \sin(1 \cdot x), \quad f'(x) = 1 \cos(1 \cdot x)
-10-8-6-4-2246810-6-4-2246sin(kx)k cos(kx) — अवकलज
यह आज़माएं

यह करें: k को 1 से 3 तक बढ़ाएँ। साइन तरंग सिकुड़ती है (ज़्यादा दोलन), और अवकलज लंबा हो जाता है — यह k से गुणा हो जाता है। आंतरिक फलन जितनी तेज़ी से बदलता है, कुल अवकलज उतना बड़ा होता है। वह गुणांक k ठीक वही है जो श्रृंखला नियम का g’(x) है।

3. फलन की घात: (x^2 + a)^n

यहाँ एक और क्लासिक श्रृंखला नियम का उदाहरण है। आंतरिक फलन g(x) = x^2 + a है, और बाहरी फलन f(u) = u^3 है (स्पष्टता के लिए घन का उपयोग करेंगे)।

a (विस्थापन पैरामीटर)1
-33
f(x)=(x2+1)3f(x) = (x^2 + 1)^3
f′(x)=3(x2+1)2⋅2x=6x(x2+1)2f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2
-10-551015202530(x² + a)³अवकलज
जोड़

श्रृंखला नियम काम को बाँटता है: 3(…)^2 बाहरी घन के अवकलन से आता है, और 2x आंतरिक x^2 + a के अवकलन से। आप दोनों को गुणा करते हैं। a बदलने से आंतरिक फलन ऊपर या नीचे खिसकता है, जिससे अवकलज शून्य होने की जगह बदलती है — लेकिन श्रृंखला नियम की संरचना वही रहती है।

4. घातांकी संयोजन: e^(kx)

विज्ञान में सबसे महत्वपूर्ण श्रृंखला नियम के उदाहरणों में से एक है दर नियतांक वाला घातांकी फलन (exponential function)।

k (दर नियतांक)1
-22
f(x)=e1x,f′(x)=1⋅e1xf(x) = e^{1 x}, \quad f'(x) = 1 \cdot e^{1 x}
-12-10-8-6-4-224681012-4-2246810e^(kx)k e^(kx) — अवकलज
यह आज़माएं

यह करें: k = 1 रखें। फलन और उसका अवकलज एक ही वक्र हैं! यह e^x का प्रसिद्ध गुणधर्म है। अब k बदलें — अवकलज मूल फलन का बस एक गुणित रूप है। श्रृंखला नियम का गुणांक k अवकलज को खींचता या सिकोड़ता है। ऋणात्मक k से घातांकी क्षय (exponential decay) देखें।

5. आंतरिक और बाहरी को एक साथ देखना

अब सब कुछ एक साथ जोड़ते हैं। नीचे आप आंतरिक फलन g(x), संयोजन f(g(x)), और अवकलज — सब एक साथ देख सकते हैं। आंतरिक फलन g(x) = x^2 है, और बाहरी f(u) = sin(u) है, जिससे हमें sin(x^2) मिलता है।

x (जाँचने का बिंदु)1
-33
g(x)=x2,f(u)=sin⁡(u),f(g(x))=sin⁡(x2)g(x) = x^2, \quad f(u) = \sin(u), \quad f(g(x)) = \sin(x^2)
f′(g(x))⋅g′(x)=cos⁡(x2)⋅2xf'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x
-10-8-6-4-2246810-4-22468g(x) = x² (आंतरिक)sin(x²) (composition)cos(x²)·2x (अवकलज)x = बिंदु
चुनौती

चुनौती: श्रृंखला नियम से e^(sin(x)) का अवकलज निकालें। यहाँ दो परतें हैं: बाहरी फलन e^u है और आंतरिक sin(x) है। बाहरी का अवकलज क्या है? आंतरिक का अवकलज क्या है? दोनों को गुणा करें।

उत्तर: e^(sin(x)) * cos(x)

मुख्य विचार

श्रृंखला नियम कहता है: जब फलन एक-दूसरे के अंदर हों, तो अवकलजों को बाहर से अंदर की ओर परत-दर-परत गुणा करें।

हर संयोजन में एक बाहरी फलन और एक आंतरिक फलन होता है। पूरे का अवकलज = बाहरी का अवकलज (आंतरिक पर मूल्यांकित) गुणा आंतरिक का अवकलज। यह प्याज़ छीलने जैसा है — हर परत का अवकलन करें और परिणामों को गुणा कर दें।

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