ज्यामिति

क्षेत्रफल और आयतन के सूत्र (Area & Volume)

कोई आकृति कितनी जगह घेरती है? कोई बर्तन कितना भर सकता है? ये क्षेत्रफल (2D) और आयतन (3D) के प्रश्न हैं। आइए इंटरैक्टिव स्लाइडर के साथ मुख्य सूत्रों को समझें और देखें कि विमाएँ बदलने से परिणाम कैसे बदलता है।

भाग 1: आयत का क्षेत्रफल

सबसे सरल क्षेत्रफल सूत्र:

A=length×widthA = \text{length} \times \text{width}
लंबाई5
110
चौड़ाई3
110
A=5×3A = 5 \times 3
-4-224681012141624681012आयत ऊपरी किनाराआयत निचला किनारा

क्षेत्रफल वह जगह है जो अंदर बंद होती है। लंबाई दोगुनी करें? क्षेत्रफल दोगुना। दोनों विमाएँ दोगुनी करें? क्षेत्रफल चौगुना हो जाता है!

यह आज़माएं

यह करें: लंबाई = 4 और चौड़ाई = 4 रखें, फिर लंबाई = 2 और चौड़ाई = 8 से तुलना करें। दोनों का क्षेत्रफल = 16 है, लेकिन आकार बिल्कुल अलग! एक ही क्षेत्रफल का मतलब एक ही आकार नहीं है।

भाग 2: त्रिभुज का क्षेत्रफल

त्रिभुज आयत का आधा होता है:

A=12×base×heightA = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}
आधार6
110
ऊँचाई4
110
A=12×6×4A = \frac{1}{2} \times 6 \times 4
-4-224681012141624681012त्रिभुज किनारा (बढ़ता)आधार
जोड़

1/2 क्यों? उसी आधार और ऊँचाई का एक आयत सोचें। अब उसे विकर्ण से काटें — हर त्रिभुज आयत का ठीक आधा है। 1/2 यहीं से आता है।

भाग 3: वृत्त का क्षेत्रफल

A=πr2A = \pi r^2

वृत्त का क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग पर निर्भर करता है। इसका मतलब है कि अगर आप त्रिज्या दोगुनी करें, तो क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है!

त्रिज्या (r)3
0.55
A=π×32A = \pi \times 3^2
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-112345678910-6-5-4-3-2-1123456वृत्त का ऊपरी आधानिचला आधा
यह आज़माएं

वर्ग की शक्ति: 6 इंच त्रिज्या वाले पिज़्ज़ा का क्षेत्रफल pi * 36 = 113 वर्ग इंच है। 12 इंच त्रिज्या वाले पिज़्ज़ा का क्षेत्रफल pi * 144 = 452 वर्ग इंच है। दोगुनी त्रिज्या = 4 गुना पिज़्ज़ा!

भाग 4: घनाभ का आयतन

अब 3D में चलते हैं! एक बॉक्स (घनाभ) का आयतन:

V=length×width×heightV = \text{length} \times \text{width} \times \text{height}
लंबाई4
18
चौड़ाई3
18
ऊँचाई5
18
V=4×3×5V = 4 \times 3 \times 5
20406080100120140160180200आयतन vs लंबाईवर्तमान आयतन

ग्राफ़ दिखाता है कि लंबाई (x-अक्ष) बदलने पर आयतन कैसे बढ़ता है। पीली रेखा वर्तमान आयतन दर्शाती है। चौड़ाई और ऊँचाई बदलकर ढलान में बदलाव देखें।

भाग 5: बेलन का आयतन

बेलन (cylinder) एक गोल बॉक्स जैसा है:

V=πr2hV = \pi r^2 h

आधार एक वृत्त है (क्षेत्रफल = pi * r^2), और इसे h इकाई ऊँचा खड़ा कर दिया जाता है।

त्रिज्या (r)3
0.55
ऊँचाई (h)6
110
V=π×32×6V = \pi \times 3^2 \times 6
50100150200250300350400450500आधार क्षेत्रफल (स्थिरांक)ऊँचाई बढ़ने पर आयतन

ग्राफ़ दिखाता है कि (निश्चित त्रिज्या के लिए) ऊँचाई बढ़ने पर आयतन रैखिक रूप से कैसे बढ़ता है। पीली रेखा का ढलान pi * r^2 है — यानी आधार का क्षेत्रफल।

भाग 6: गोले का आयतन

V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3

गोले (sphere) का आयतन त्रिज्या के घन पर निर्भर करता है। त्रिज्या तीन गुनी करें और आयतन 27 गुना बढ़ जाता है!

त्रिज्या (r)2
0.55
V=43π×23V = \frac{4}{3}\pi \times 2^3

आइए देखें कि विभिन्न आकृतियों का आयतन त्रिज्या के साथ कैसे बढ़ता है:

50100150200250300350400गोला आयतनघन आयतनवर्तमान गोले का आयतन
जोड़

आकृतियों की तुलना: समान त्रिज्या/भुजा लंबाई के लिए, बड़े आकारों में गोला घन से ज़्यादा जगह घेरता है क्योंकि x^3 उसी तरह बढ़ता है लेकिन गोले में 4pi/3 गुणांक (लगभग 4.19) है। प्रकृति गोलों को पसंद करती है — वे दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए सबसे ज़्यादा आयतन घेरते हैं। इसीलिए बुलबुले, ग्रह और पानी की बूँदें गोल होती हैं!

भाग 7: शंकु और पिरामिड

शंकु (cone) एक ऐसा बेलन है जो एक बिंदु पर सिकुड़ता है। इसका आयतन संबंधित बेलन का ठीक एक-तिहाई होता है:

Vcone=13πr2hV_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h

इसी तरह, पिरामिड समान आधार वाले प्रिज़्म का एक-तिहाई होता है:

Vpyramid=13×base area×hV_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3} \times \text{base area} \times h
त्रिज्या3
0.55
ऊँचाई6
110
Vcylinder=π×32×6V_{\text{cylinder}} = \pi \times 3^2 \times 6
Vcone=13×π×32×6V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 6
50100150200250300350400बेलन आयतनशंकु आयतन

शंकु हमेशा समान आधार और ऊँचाई वाले बेलन का ठीक एक-तिहाई होता है। त्रिज्या स्लाइडर बदलें और देखें कि दोनों रेखाओं का ढलान एक साथ बदलता है — अनुपात 3:1 बना रहता है।

चुनौती

चुनौती:

  1. एक गोले की त्रिज्या 3 है। एक बेलन की त्रिज्या 3 और ऊँचाई 6 है (ताकि गोला उसमें पूरा समा जाए)। गोला बेलन के आयतन का कितना भाग घेरता है? (संकेत: यह एक प्रसिद्ध अनुपात है!)
  2. आपके पास 500 घन इंच मिट्टी है। सबसे बड़े गोले की त्रिज्या कितनी होगी?
  3. एक शंकु और बेलन का आधार और ऊँचाई समान है। बेलन भरने में कितने शंकु पानी लगेंगे?

सारांश

आकृतिक्षेत्रफल / आयतन
आयतA = l * w
त्रिभुजA = (1/2) * b * h
वृत्तA = pi * r^2
घनाभV = l * w * h
बेलनV = pi * r^2 * h
गोलाV = (4/3) * pi * r^3
शंकुV = (1/3) * pi * r^2 * h

मुख्य पैटर्न: क्षेत्रफल सूत्रों में किसी विमा का वर्ग होता है, और आयतन सूत्रों में घन। इसीलिए किसी विमा को दोगुना करने का क्षेत्रफल और आयतन पर इतना बड़ा प्रभाव पड़ता है।

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