परवलय ऐसा क्यों दिखता है?

हर द्विघात फलन (quadratic function) एक परवलय (parabola) बनाता है — वो जाना-पहचाना U-आकार। लेकिन एक संख्या बदलने से पूरा वक्र क्यों बदल जाता है? आइए इसे तोड़कर समझते हैं।

सबसे सरल रूप

यह सबसे सरल द्विघात समीकरण है: y = x²

हर x का वर्ग (square) लिया जाता है — ऋणात्मक (negative) संख्याएँ भी धनात्मक (positive) बन जाती हैं, इसलिए वक्र सममित (symmetric) होता है। शीर्ष (vertex) मूल बिंदु (0, 0) पर बैठता है।

हर संख्या क्या करती है?

सामान्य रूप है y = ax² + bx + c। स्लाइडर से हर गुणांक (coefficient) बदलें और परवलय पर प्रभाव देखें:

तीन गुणांकों को समझें

a — खिंचाव गुणक (Stretch Factor)

• |a| > 1: परवलय संकरा (steeper) हो जाता है
• |a| < 1: परवलय चौड़ा (flatter) हो जाता है
• a > 0: ऊपर की ओर खुलता है (U आकार)
• a < 0: नीचे की ओर खुलता है (∩ आकार)
• a = 0: अब यह परवलय नहीं रहा — यह सीधी रेखा बन गई!

b — झुकाव (Tilt)

यह थोड़ा पेचीदा है। यह शीर्ष को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों दिशाओं में एक छिपे रास्ते पर ले जाता है। शीर्ष का x-निर्देशांक हमेशा x = -b / 2a पर होता है।

c — ऊर्ध्वाधर विस्थापन (Vertical Shift)

सबसे सरल: c पूरे परवलय को ऊपर या नीचे खिसकाता है। यह y-अंतःखंड (y-intercept) है — वह बिंदु जहाँ वक्र y-अक्ष को काटता है।

मूल (Roots) ढूँढना: परवलय शून्य कहाँ होता है?

मूल (roots) या शून्य (zeros) वे x-मान हैं जहाँ y = 0 — यानी जहाँ परवलय x-अक्ष को काटता है।

c को स्लाइड करें और देखें:

• c < 0: दो मूल — परवलय x-अक्ष के नीचे जाता है
• c = 0: ठीक एक मूल — यह अक्ष को सिर्फ छूता है
• c > 0: कोई वास्तविक मूल नहीं — परवलय ऊपर तैरता रहता है

परवलयों की तुलना

यहाँ तीन परवलय हैं जिनके a मान अलग-अलग हैं, सभी मूल बिंदु से गुज़रते हैं। देखें कि a “चौड़ाई” को कैसे नियंत्रित करता है:

|a| जितना बड़ा, भुजाएँ उतनी तीखी। इसे ऐसे समझें कि फलन शीर्ष से “कितनी तेज़ी से” बढ़ता है।