दृढ़ गतियाँ: स्थानान्तरण, घूर्णन, परावर्तन
दृढ़ गति (Rigid motion), जिसे समदूरीकरण (isometry) भी कहते हैं, किसी आकृति के हर बिन्दु को एक ही तरीके से हिलाती है — दूरियाँ और कोण बराबर रहते हैं। तीन बुनियादी दृढ़ गतियाँ हैं: स्थानान्तरण (Translation), घूर्णन (Rotation), और परावर्तन (Reflection)। आइए इन्हें एक-एक करके समझते हैं!
स्थानान्तरण (Translation — खिसकाना)
स्थानान्तरण में आकृति का हर बिन्दु एक ही दिशा में समान दूरी तक खिसकता है। इसे ऐसे समझें जैसे आप स्क्रीन पर किसी आकार को बिना घुमाए या पलटे खींच रहे हों।
नीचे, नीली रेखा मूल फलन y = x है। इसे खिसकाने के लिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर शिफ्ट स्लाइडर बदलें।
यह आज़माएं: h = 3, k = 2 सेट करें। मूल रेखा का हर बिन्दु दाएँ 3 और ऊपर 2 खिसक जाता है। ध्यान दें कि ढाल (slope) वही रहती है — स्थानान्तरण से आकार या कोण नहीं बदलते!
परवलय का स्थानान्तरण
यही विचार एक परवलय (parabola) के साथ देखते हैं। स्थानान्तरण शीर्ष (vertex) को खिसकाता है लेकिन वक्र का आकार नहीं बदलता।
घूर्णन (Rotation)
घूर्णन किसी आकृति को एक निश्चित केन्द्र बिन्दु के चारों ओर एक दिए गए कोण से घुमाता है। नीचे, हम y = x रेखा को मूल बिन्दु के चारों ओर घुमाते हैं। घूर्णन कोण ढाल को बदलता है।
यह आज़माएं: घूर्णन को 45 डिग्री पर सेट करें। मूल रेखा (ढाल = 1, यानी क्षैतिज से 45 डिग्री) ऊर्ध्वाधर (vertical) हो जाती है (ढाल = tan 90° = अपरिभाषित)। रेखा को घूमते हुए देखें!
परावर्तन (Reflection)
परावर्तन किसी आकृति को एक रेखा (जिसे परावर्तन रेखा कहते हैं) के ऊपर से पलटता है, जिससे दर्पण प्रतिबिम्ब बनता है। सबसे आम परावर्तन x-अक्ष और y-अक्ष के ऊपर होते हैं।
स्लाइडर से चुनें: कोई परावर्तन नहीं, x-अक्ष पर परावर्तन, या y-अक्ष पर परावर्तन।
परवलय का x-अक्ष पर परावर्तन
एक प्रसिद्ध परावर्तन: y = x^2 को x-अक्ष पर पलटने से y = -x^2 मिलता है।
मुख्य बात: तीनों दृढ़ गतियाँ आकृति के आकार और माप को बरकरार रखती हैं। यदि दो आकृतियाँ स्थानान्तरण, घूर्णन और परावर्तन के किसी भी संयोजन से जुड़ी हैं, तो वे सर्वांगसम (congruent) हैं।
चुनौती: क्या आप दृढ़ गतियों का ऐसा क्रम बता सकते हैं जो बिन्दु (1, 2) को (-1, -2) पर ले जाए? (संकेत: एक से अधिक सही उत्तर हैं!)