शंकु परिच्छेद (Conic Sections)
एक शंकु (cone) को अलग-अलग कोणों पर एक समतल (plane) से काटें और आपको चार अलग-अलग वक्र मिलते हैं: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय। इन शंकु परिच्छेदों (conic sections) का अध्ययन प्राचीन यूनानियों ने किया था, और ये ग्रहों की कक्षाओं से लेकर सैटेलाइट डिश और पुलों के मेहराबों तक सब कुछ वर्णित करते हैं।
वृत्त (Circle): जहाँ से सब शुरू होता है
वृत्त उन सभी बिंदुओं का समूह है जो किसी केंद्र बिंदु से एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर होते हैं। मूल बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण है:
x^2 + y^2 = r^2
हम इसे ऊपरी और निचले आधे हिस्सों को अलग-अलग फलनों के रूप में प्लॉट करके देख सकते हैं:
वृत्त हर दिशा में पूर्ण रूप से सममित है। इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) 0 है — यह सबसे “गोल” शंकु परिच्छेद है।
वृत्त वास्तव में दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है जहाँ दोनों अक्ष बराबर होते हैं। जब आप एक अक्ष को खींचते हैं, तो वृत्त दीर्घवृत्त बन जाता है। उत्केंद्रता (eccentricity) मापती है कि आकृति पूर्ण वृत्त से कितनी विचलित हो गई है।
दीर्घवृत्त (Ellipse): एक खिंचा हुआ वृत्त
मूल बिंदु पर केंद्रित दीर्घवृत्त का समीकरण है:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
जहाँ a अर्ध-दीर्घ अक्ष (semi-major axis, आधी चौड़ाई) है और b अर्ध-लघु अक्ष (semi-minor axis, आधी ऊँचाई) है। जब a = b, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त बन जाता है।
बैंगनी वक्र दीर्घवृत्त है। लाल क्षैतिज रेखाएँ अर्ध-लघु अक्ष की ऊँचाई को धन और ऋण b पर दर्शाती हैं।
a = b रखें (उदाहरण के लिए, दोनों 3 के बराबर)। दीर्घवृत्त एक पूर्ण वृत्त बन जाता है। अब b को स्थिर रखते हुए धीरे-धीरे a बढ़ाएँ। देखें कि दीर्घवृत्त क्षैतिज रूप से कैसे खिंचता है। a और b में जितना अधिक अंतर होगा, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक लंबा होगा।
उत्केंद्रता (Eccentricity): लंबाई मापना
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता (eccentricity) (मान लें a >= b) है:
e = sqrt(1 - b^2/a^2)
उत्केंद्रता 0 (एक पूर्ण वृत्त) से लेकर 1 के करीब (अत्यंत लंबा दीर्घवृत्त) तक हो सकती है।
ग्रहों की कक्षाएँ दीर्घवृत्त होती हैं जिनकी एक नाभि पर सूर्य होता है। पृथ्वी की कक्षा की उत्केंद्रता लगभग 0.017 है — लगभग एक पूर्ण वृत्त। प्लूटो की कक्षा की उत्केंद्रता 0.25 है, जो इसे स्पष्ट रूप से लंबी बनाती है। धूमकेतुओं की उत्केंद्रता 1 के बहुत करीब हो सकती है, जिससे लंबी संकरी कक्षाएँ बनती हैं।
अतिपरवलय (Hyperbola): दो शाखाएँ
अतिपरवलय दो दर्पण-छवि वक्रों जैसा दिखता है जो बाहर की ओर खुलते हैं। इसका समीकरण है:
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
ऋण चिह्न (धन के बजाय) ही इसे दीर्घवृत्त की जगह अतिपरवलय बनाता है।
पीली रेखाएँ अनंतस्पर्शी (asymptotes) हैं — अतिपरवलय इन रेखाओं के करीब पहुँचता है लेकिन कभी छूता नहीं। अनंतस्पर्शी रेखाओं की प्रवणता (slope) b/a और -b/a है, जो एक X आकार बनाती हैं और वक्र की दिशा निर्देशित करती हैं।
- अतिपरवलय की दो शाखाएँ हैं, एक दाईं ओर और एक बाईं ओर खुलती है।
- शीर्ष (vertices, दोनों शाखाओं के निकटतम बिंदु) (a, 0) और (-a, 0) पर हैं।
- दोनों शाखाओं के बीच का अंतर 2a चौड़ा है।
a = b रखें। अनंतस्पर्शी रेखाएँ y = x और y = -x बन जाती हैं, जो एक पूर्ण 90 डिग्री का कोण बनाती हैं। इस विशेष स्थिति को आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) कहते हैं। परिमेय फलनों वाले पाठ का फलन y = 1/x वास्तव में 45 डिग्री घुमाया हुआ आयताकार अतिपरवलय है।
परवलय पर पुनर्विचार (Parabolas Revisited)
परवलय भी एक शंकु परिच्छेद है — यह तब बनता है जब काटने वाला समतल शंकु की भुजा के समानांतर होता है। आप परवलय को द्विघात फलनों से पहले से जानते हैं, लेकिन शंकु परिच्छेद के रूप में हम इसे ऐसे लिखते हैं:
y = (1/4p) x^2 जहाँ p शीर्ष से नाभि (focus) तक की दूरी है।
- बड़ा p परवलय को चौड़ा बनाता है (नाभि शीर्ष से दूर होती है)।
- छोटा p इसे संकरा और तीव्र बनाता है।
- नियता (directrix) (पीली रेखा) y = -p पर, शीर्ष के नीचे होती है।
सैटेलाइट डिश और कार की हेडलाइट परवलयिक परावर्तक (parabolic reflectors) का उपयोग करती हैं। अक्ष के समानांतर आने वाला कोई भी संकेत परवलयिक सतह से परावर्तित होकर नाभि पर केंद्रित हो जाता है। इसीलिए रिसीवर डिश के नाभि बिंदु पर लगाया जाता है।
पारिवारिक चित्र
चारों शंकु परिच्छेद एक ही सूत्र से आते हैं। सामान्य द्वितीय घात समीकरण Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 से मिलता है:
| शंकु परिच्छेद | शर्त | उत्केंद्रता (Eccentricity) |
|---|---|---|
| वृत्त (Circle) | A = C, B = 0 | e = 0 |
| दीर्घवृत्त (Ellipse) | A और C एक ही चिह्न, A ≠ C | 0 < e < 1 |
| परवलय (Parabola) | A = 0 या C = 0 (दोनों नहीं) | e = 1 |
| अतिपरवलय (Hyperbola) | A और C विपरीत चिह्न | e > 1 |
चुनौती: प्रत्येक समीकरण को वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय के रूप में वर्गीकृत करें:
- x^2 + y^2 = 25
- 4x^2 + 9y^2 = 36
- x^2 - y^2 = 16
- y = 3x^2 + 2
फिर प्रत्येक को मानक रूप (standard form) में लिखें और मुख्य विशेषताओं (केंद्र, शीर्ष, अनंतस्पर्शी, आदि) की पहचान करें।