सत्य को छायांकित करना (Shading the Truth)

आप पहले से जानते हैं कि रेखा कैसे खींचते हैं। लेकिन अगर उत्तर रेखा पर नहीं बल्कि ग्राफ का पूरा क्षेत्र हो तो? असमिकाओं (inequalities) की दुनिया में आपका स्वागत है, जहाँ रेखा बस सीमा है और असली कार्रवाई छायांकन (shading) में है।

असमिका (Inequality) क्या है?

y = 2x + 1 जैसा समीकरण आपको एक रेखा देता है। लेकिन y > 2x + 1 जैसी असमिका आपको उस रेखा के ऊपर सब कुछ देती है। यह एक उत्तर नहीं है — यह अनंत उत्तर हैं, निर्देशांक तल का आधा हिस्सा।

भाग 1: संख्या रेखा पर असमिकाएं

निर्देशांक तल पर जाने से पहले, सरल शुरुआत करते हैं। संख्या रेखा पर x > 3 का मतलब है 3 के दाईं ओर की हर संख्या। हम 3 पर एक खुला वृत्त बनाते हैं (क्योंकि 3 स्वयं शामिल नहीं है) और दाईं ओर छायांकित करते हैं।

अगर x >= 3 है, तो हम भरा हुआ वृत्त बनाते हैं क्योंकि 3 शामिल है।

याद रखने योग्य चिह्न:

भाग 2: सीमा रेखा (Boundary Line)

अब दो आयामों में चलते हैं। हर रैखिक असमिका की एक सीमा रेखा होती है — वह रेखा जो असमिका की जगह बराबर चिह्न लगाने पर मिलती है।

सीमा रेखा की ढलान और y-अंतःखंड बदलने के लिए नीचे स्लाइडर्स खींचें:

यह बस एक सामान्य रेखा है — वही जो रैखिक समीकरण वाले पाठ में थी। असमिका वाला हिस्सा अब आता है: कौन सी तरफ छायांकित करें?

भाग 3: ऊपर और नीचे छायांकन

यहाँ बड़ा नियम है:

• y > mx + b या y >= mx + b — रेखा के ऊपर छायांकित करें
• y < mx + b या y <= mx + b — रेखा के नीचे छायांकित करें

चलिए इसे काम करते देखें। सीमा रेखा दो क्षेत्रों को अलग करती है। देखें कि ढलान और अंतःखंड बदलने से पूरी सीमा कैसे हिलती है:

ऊपर की फीकी रेखा छायांकित क्षेत्र को दर्शाती है। उस क्षेत्र का हर बिंदु ऐसा है जिसका y-मान सीमा रेखा से बड़ा है। सीमा के ऊपर कोई भी बिंदु चुनें — वह असमिका को संतुष्ट करेगा।

भाग 4: परीक्षण बिंदु (Testing a Point)

कौन सी तरफ छायांकित करें, इसमें संदेह है? एक अचूक तरकीब है: एक परीक्षण बिंदु चुनें और उसे रखकर देखें। सबसे आसान परीक्षण बिंदु आमतौर पर (0, 0) — मूल बिंदु है।

उदाहरण: क्या (0, 0) y > 2x + 1 को संतुष्ट करता है?

रखें: 0 > 2(0) + 1 बनता है 0 > 1। यह गलत है, तो (0, 0) हल क्षेत्र में नहीं है। दूसरी तरफ छायांकित करें।

भाग 5: दो सीमा रेखाओं की तुलना

अगर एक साथ दो असमिकाएं हों तो? अब आप ऐसे बिंदु खोज रहे हैं जो दोनों शर्तें पूरी करें — वह क्षेत्र जहाँ दोनों छायांकन ओवरलैप करते हैं।

दो रेखाएं तल को क्षेत्रों में बाँटती हैं। जब आपके पास असमिकाओं का निकाय (system of inequalities) हो, तो हल वह क्षेत्र है जो उन सभी को एक साथ संतुष्ट करता है।

भाग 6: संयुक्त असमिकाएं (Compound Inequalities)

संयुक्त असमिका दो शर्तों को मिलाती है। उदाहरण:

-3 < y < 3 का मतलब y, -3 और 3 के बीच है।

ग्राफ पर, यह एक क्षैतिज पट्टी (band) जैसा दिखता है:

दोनों रेखाओं के बीच सब कुछ हल क्षेत्र है। रेखाओं पर के बिंदु शामिल हैं या नहीं, यह इस पर निर्भर करता है कि असमिका सख्त है या बराबर वाली।

अब ढलान वाली सीमाओं के साथ एक अधिक रोचक संयुक्त असमिका देखें:

हल दोनों समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी है। “Band width” स्लाइड करके देखें कि क्षेत्र कैसे बढ़ता और सिकुड़ता है।

सारांश

असमिकाओं के बारे में आपने जो सीखा:

असमिकाएं समीकरणों से कठिन नहीं हैं — बस बड़ी हैं। एक उत्तर की बजाय, आपको उत्तरों का पूरा क्षेत्र मिलता है। और वह सीमा रेखा? वह बस “हाँ” और “नहीं” के बीच की बाड़ है।