परिमेय फलन और अनंतस्पर्शी (Rational Functions & Asymptotes)

परिमेय फलन (rational function) दो बहुपदों (polynomials) का अनुपात है — एक ऐसी भिन्न जिसमें अंश और हर दोनों बहुपद व्यंजक हैं। ये फलन प्री-कैलकुलस में सबसे नाटकीय ग्राफ व्यवहार उत्पन्न करते हैं: वक्र जो अनंत तक उड़ जाते हैं, अदृश्य बाधाएँ जिन्हें फलन कभी पार नहीं कर सकता, और ऐसे छिद्र जो हैं भी और नहीं भी।

मूल फलन: y = 1/x

सबसे सरल परिमेय फलन y = 1/x है। यह वो आकार तय करता है जिस पर बाकी सभी परिमेय फलन बने हैं।

दो मुख्य विशेषताएँ:

• x = 0 पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptote): जैसे x दाईं ओर से 0 के पास पहुँचता है, y धनात्मक अनंत तक उछलता है। बाईं ओर से, y ऋणात्मक अनंत तक गिरता है। फलन x = 0 पर अपरिभाषित (undefined) है (शून्य से भाग नहीं दे सकते)।
• y = 0 पर क्षैतिज अनंतस्पर्शी (horizontal asymptote): जैसे x बहुत बड़ा होता है (धनात्मक या ऋणात्मक), 1/x शून्य के करीब पहुँचता है लेकिन कभी वहाँ पहुँचता नहीं।

अनंतस्पर्शियों को खिसकाना: y = 1/(x - h) + k

x को (x - h) से बदलकर और k जोड़कर, हम दोनों अनंतस्पर्शियों को कहीं भी ले जा सकते हैं:

• h ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी को x = h पर ले जाता है।
• k क्षैतिज अनंतस्पर्शी को y = k पर ले जाता है।

लाल क्षैतिज रेखा y = k पर क्षैतिज अनंतस्पर्शी है। ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी x = h पर है (जहाँ वक्र टूटता है वो देख सकते हैं)। स्लाइडर खींचें और पूरे वक्र को तल (plane) पर खिसकते देखें।

स्केलिंग और परावर्तन (Reflection)

गुणांक a जोड़ने से वक्र खिंचता है और पलट भी सकता है:

y = a / (x - h) + k

• |a| > 1: वक्र अनंतस्पर्शियों से दूर खिंचता है — शाखाएँ “बाहर धकेली” जाती हैं।
• |a| < 1: वक्र अनंतस्पर्शियों की ओर सिकुड़ता है।
• a < 0: वक्र पलट जाता है — ऊपर जाने वाली शाखाएँ अब नीचे जाती हैं, और इसके विपरीत।

बहुपद अंश वाले परिमेय फलन

अधिक रोचक परिमेय फलनों में अंश और हर दोनों में घात 1 या अधिक के बहुपद होते हैं। आइए खोजें:

y = (x + n) / (x + d)

क्षैतिज अनंतस्पर्शी y = 1 पर है (प्रमुख गुणांकों का अनुपात, जो दोनों 1 हैं)। ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी x = -d पर है। x-अंतःखंड x = -n पर है।

अंत व्यवहार और तिर्यक अनंतस्पर्शी (Slant Asymptotes)

जब अंश की घात हर की घात से ठीक एक अधिक हो, तो फलन में क्षैतिज के बजाय तिर्यक (oblique) अनंतस्पर्शी होती है।

y = (x^2 - 1) / x = x - 1/x पर विचार करें। जैसे x बड़ा होता है, -1/x वाला भाग गायब हो जाता है, इसलिए फलन y = x रेखा के पास पहुँचता है।

वक्र दूर के छोरों पर पीली रेखा y = x से चिपकता है लेकिन x = 0 पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी के पास दूर हो जाता है।

परिमेय फलनों में छिद्र (Holes)

छिद्र (hole) तब बनता है जब कोई गुणनखंड अंश और हर दोनों से निरस्त हो जाता है। y = (x^2 - 4) / (x - 2) = (x+2)(x-2) / (x-2) पर विचार करें। (x-2) गुणनखंड निरस्त हो जाते हैं, y = x + 2 बचता है, लेकिन x = 2 पर एक छिद्र है।

दोनों ग्राफ एक जैसे दिखते हैं — और वे हैं भी एक जैसे, सिवाय x = 2 के, जहाँ मूल फलन अपरिभाषित है। छिद्र बिंदु (2, 4) पर है। यह ग्राफ पर अदृश्य है लेकिन बीजगणितीय रूप से मौजूद है।